Question

有哪位大神帮忙看看这道数学题？

Answer 1

这种题高考涉及的比较少，可能北京卷有这类新定义数列题目

Answer 2

【1】该等差数列不是Ω数列。

证明：取等差数列前两项，a₁=1，a₂=2，则有：a₁+a₂=3

除a₁、a₂外，其他四项为3、4、5、6，不存在两者之和=3。

即：该数列不是Ω数列。

【2】证明：

当m=3时，aₙ只有三种取值可能：1、2、3

根据Ω数列规则，有：

当i>j时，aᵢ≥aⱼ

已知a₁=1，则有：a₁+a₂=a₂+1

假设另有：aᵢ+aⱼ=a₁+a₂，

已有a₁、a₂，因此：i>2、j>2

因此：aᵢ≥a₂，aⱼ≥a₂

即：aᵢ+aⱼ≥2a₂

即：a₂+1≥2a₂

即：a₂≤1

又：a₂≥a₁=1

因此：a₂=1

因此：aᵢ+aⱼ=a₁+a₂=2

又：aᵢ≥a₁=1，aⱼ≥a₁=1

因此：aᵢ=aⱼ=a₂=a₁=1

得证：至少存在4项数值为1。

同理，因为：aₙ=3

可得：aₙ₋₁+aₙ=aₙ₋₁+3

假设存在aᵢ+aⱼ=aₙ₋₁+aₙ

由于aᵢ≤aₙ₋₁、aⱼ≤aₙ₋₁

得：aᵢ+aⱼ=aₙ₋₁+3≤2aₙ₋₁

即：aₙ₋₁≥3

又：aₙ₋₁≤aₙ=3

得：aₙ₋₁=3

aᵢ+aⱼ=aₙ₋₁+aₙ=6

因为：aᵢ≤aₙ₋₁=3、aⱼ≤aₙ₋₁=3

得到：aᵢ=aⱼ=aₙ₋₁=aₙ=3

的证：至少存在4项数值为3。

根据规格②可知，在已知a₁=1、aₙ=3时，数列中至少有一项取值为2。

假设aₜ=2，则：

取a₁、aₜ两项时，存在a₁+aₜ=1+2=3

则必然存在另两项aᵢ+aⱼ=a₁+aₜ=3

已知1≤aᵢ≤3，1≤aⱼ≤3

当aᵢ=1时，aⱼ=2

当aᵢ=2时，aⱼ=1

当aᵢ=3时，不符合要求。

因此：aᵢ、aⱼ中必有一项为2

加上aₜ=2

得证：数列中至少存在两项数值为2。