有哪位大神帮忙看看这道数学题?
【1】该等差数列不是Ω数列。
证明:取等差数列前两项,a₁=1,a₂=2,则有:a₁+a₂=3
除a₁、a₂外,其他四项为3、4、5、6,不存在两者之和=3。
即:该数列不是Ω数列。
【2】证明:
当m=3时,aₙ只有三种取值可能:1、2、3
根据Ω数列规则,有:
当i>j时,aᵢ≥aⱼ
已知a₁=1,则有:a₁+a₂=a₂+1
假设另有:aᵢ+aⱼ=a₁+a₂,
已有a₁、a₂,因此:i>2、j>2
因此:aᵢ≥a₂,aⱼ≥a₂
即:aᵢ+aⱼ≥2a₂
即:a₂+1≥2a₂
即:a₂≤1
又:a₂≥a₁=1
因此:a₂=1
因此:aᵢ+aⱼ=a₁+a₂=2
又:aᵢ≥a₁=1,aⱼ≥a₁=1
因此:aᵢ=aⱼ=a₂=a₁=1
得证:至少存在4项数值为1。
同理,因为:aₙ=3
可得:aₙ₋₁+aₙ=aₙ₋₁+3
假设存在aᵢ+aⱼ=aₙ₋₁+aₙ
由于aᵢ≤aₙ₋₁、aⱼ≤aₙ₋₁
得:aᵢ+aⱼ=aₙ₋₁+3≤2aₙ₋₁
即:aₙ₋₁≥3
又:aₙ₋₁≤aₙ=3
得:aₙ₋₁=3
aᵢ+aⱼ=aₙ₋₁+aₙ=6
因为:aᵢ≤aₙ₋₁=3、aⱼ≤aₙ₋₁=3
得到:aᵢ=aⱼ=aₙ₋₁=aₙ=3
的证:至少存在4项数值为3。
根据规格②可知,在已知a₁=1、aₙ=3时,数列中至少有一项取值为2。
假设aₜ=2,则:
取a₁、aₜ两项时,存在a₁+aₜ=1+2=3
则必然存在另两项aᵢ+aⱼ=a₁+aₜ=3
已知1≤aᵢ≤3,1≤aⱼ≤3
当aᵢ=1时,aⱼ=2
当aᵢ=2时,aⱼ=1
当aᵢ=3时,不符合要求。
因此:aᵢ、aⱼ中必有一项为2
加上aₜ=2
得证:数列中至少存在两项数值为2。