Question

求极限lim(n->无穷)1/2•3/4•…•(2n-1)/2n

Answer 1

分子：1*3*5*。。。(2n-1)=n!/2^n
分母：2*4*6*。。。(2n)=2^n*n!
分子/分母=n!/2^n / [ 2^n*n! ]=1/(2^n*2^n)=1/4^n

n->OO 1/4^n->0

0<(1/2*3/4…2n-1/2n)<1/4^n

所以极限为0

Answer 2

用夹逼定理，1/2n<f(n)<1，得极限为1

Answer 3

应该为e^（－4/3）

Answer 4

分子：1*3*5*。。。(2n-1)=n!/2^n
分母：2*4*6*。。。(2n)=2^n*n!
分子/分母=n!/2^n / [ 2^n*n! ]=1/(2^n*2^n)=1/4^n

n->OO 1/4^n->0

0<(1/2*3/4…2n-1/2n)<1/4^n

所以极限为0

追问

分子和分母是怎么算出来的啊？

1/2•3/4•…•(2n-1)/2n不是=1/4^n？

追答

(2n)!
=[1*3*5*...*(2n-1)]*[2*4*6*...(2n)]
=[1*3*5*...*(2n-1)]*[(2*1)*(2*2)*(2*3)*...(2*n)]
=[1*3*5*...*(2n-1)]*[2^n*(1*2*3*...*n)]
=[1*3*5*...*(2n-1)]*(2^n*n!)
所以 (2n)!/(2^n*n!)=1*3*5*...*(2n-1).

2×4×6×...×(2n)
=(2×1)×(2×2)×...×(2×n)
=(2×2×...×2)×(1×2×3×...×n)
=2^n*n!

追问

6！=2^3

哦哦

看错了

好厉害。

那前面是不是写错了？

不是说(2n)!/(2^n*n!)=1*3*5*...*(2n-1).
上面怎么会
分子：1*3*5*。。。(2n-1)=n!/2^n

呃

懂了

追答

确实有问题，感觉要换方法才行。网上有这种方法：

追问

！有问题吗？不是约掉了？

追答

约不掉的。

追问

哦对的，约不掉。那怎么做……

追答

用上面的那个归纳法，就可以得到极限为0。

追问

哪个归纳法？