Question

如何用几何法证（a+b+c）/3大于等于三次根号abc

Answer 1

x³＋y³＋z³－3xyz＝（x＋y＋z）（x²＋y²＋z²－xy－xz－yz）。
∵x²+y²+z²-xy-xz-yz =（1/2）[（x²-2xy+y²）+（x²-2xz+z²）+（y²-2yz+z²）]
=（1/2）［（x-y）^2+（x-z）^2+（y-z）^2］≧0。
而x、y、z是正数，∴x^3＋y^3＋z^3－3xyz≧0，
∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz。
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c，
得：a＋b＋c/3≧³√（abc）。

Answer 2

x³＋y³＋z³－3xyz＝（x＋y＋z）（x²＋y²＋z²－xy－xz－yz）。
∵x²+y²+z²-xy-xz-yz =（1/2）[（x²-2xy+y²）+（x²-2xz+z²）+（y²-2yz+z²）]
=（1/2）［（x-y）^2+（x-z）^2+（y-z）^2］≧0。
而x、y、z是正数，∴x^3＋y^3＋z^3－3xyz≧0，
∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz。
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c，
得：a＋b＋c/3≧³√（abc）。