Question

用极限思维求最值 当x趋近于0时,（1+x）的1／x次方为何值?

Answer 1

　　为e.下面是验证过程：
　　其中x趋向于0已知自然数n→+∞时 ﹙1+1/n﹚^n→e [数列﹙1+1/n﹚^n单调增加,有界.有极限.叫e]①设x＞0 x→0,固定x 存在n,n≤1/x＜﹙n+1﹚, 1/﹙n+1﹚＜x≤1/n1+1/﹙n+1﹚＜1+x≤1+1/n[1+1/﹙n+1﹚]^n＜﹙1+x﹚^﹙1/x﹚＜[1+1/n]^﹙n+1﹚x→+0时n→+∞. 注意﹙1+1/﹙n+1﹚﹚→1.﹙1+1/n﹚→1[1+1/﹙n+1﹚]^n＝﹛[1+1/﹙n+1﹚]^﹙n+1﹚﹜/﹙1+1/﹙n+1﹚﹚→e/1＝e[1+1/n]^﹙n+1﹚＝[﹙1+1/n﹚^n]×﹙1+1/n﹚→e×1＝e从“夹逼原理”x→+0时,（1+x）^(1/x)→e②看x→-0,取y＝-x,（1+x）^(1/x)＝﹙1-y﹚^﹙-1/y﹚＝……＝[﹙1+﹙y/﹙1-y﹚﹚^﹙﹙1-y﹚/y﹚]^1/﹙1-y﹚x→-0时,显然y/﹙1-y﹚→+0.从①﹙1+﹙y/﹙1-y﹚﹚^﹙﹙1-y﹚/y﹚→e.1/﹙1-y﹚→1∴（1+x）^(1/x)→e^1＝e从①②得到x→0时.（1+x）^(1/x)→e