Question

近世代数理论基础5：算术基本定理

Answer 1

设 为任一整数,则 与 是他的因数,称为平凡因数

若 只有平凡因数,则称p为素数,否则称为合数

定理：设p为素数,则 ,有 或

证明：

推论：设 , 为素数,且 ,则p整除某个

证明：

定理：任一大于1的整数一定能表成素数的乘积,且该表示法除了次序外是唯一的,即若 ,则有 ,其中 为素数,且若又有 ,其中 为素数,则 ,且适当调整次序后,对任意的 都有

证明：

推论：

(1)任一大于1的正整数a都可唯一写成a的标准分解式

其中 为素数

(2) 且

则

其中

定义：设 ,记集合 中与a互素的整数个数为 , 是一个定义在全体正整数集合上的一个函数,称为欧拉函数

例：设p为素数,则集合 中,与p互素的元为 ,因此

注： ,有

集合 中有 个元,对于该集合中任一元a, ,故与 不互素的元有 个,从而与 互素的元有 个