Question

（线代）设A是4×3矩阵，B是3×4非零矩阵，其中AB=O，为什么有r(A)+r(B)≤3？

Answer 1

设A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，则存在如下不等式：
r(A)+r(B)-n≤r(AB)
对于本题，则有r(A)+r(B)-3≤r(AB)=r(O)=0，因此r(A)+r(B)≤3
下面证明以上不等式：先构造如下分块矩阵
[ AB O ]
[ O En ]
该矩阵的秩为r(AB)+r(En)=r(AB)+n
第二行矩阵左乘A后加到第一行，得
[ AB A ]
[ O En ]
第二列矩阵右乘-B后加到第一列，得
[ O A ]
[ -B En ]
该矩阵的秩大于等于r(A)+r(B)
又初等变换不改变矩阵的秩，则有r(AB)+n≥r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n≤r(AB)，不等式得证