曲线与曲线相切的公式
一、概念引入:
教材中并没有曲线与曲线相切的概念,为了便利后文的叙述和对两个函数之间关系的理解,对于f(x)和g(x),我们定义:
若在 处有 且 ,即共点共切线,则我们称f(x)和g(x)在处相切。
特殊地,若在 处有 且在 的邻域内总有 或 ,称f(x)和g(x)在处同侧相切。
二、举例:
以下几组函数图像将帮大家直观地感受同侧相切:
① 和 在x=1处同侧相切
② 和 在x=1处同侧相切
③ 与 在x=1处同侧相切
三、实际运用:
1.构造一些比较紧的不等式:
①
②当x≥1时 , 当0<x≤1时,
在切点附近有极强的逼近性。
事实上,帕德逼近在图像的呈现上也展现出曲线异侧相切的特点:
③当x≥0时 , 当-1<x≤0时,
④当0≤x<2时, ,当x≤0时,
蓝色为分式函数,红色为指数函数
2.定量地感知极限情况:
这种技巧往往被用在恒成立求范围问题,和恰成立问题中。
比较举例中的①和②,发现两函数凹凸性相反时,这种感觉尤为明显:
当两函数凹凸性相反且相切时,两个函数就像两只牛角,紧紧地顶住了,函数的位置关系也就确定了。而这类问题的命题老师往往是善良的,我们遇到的大多数情况中,函数都有明显的凹凸性差异,因此从这个角度分析事半功倍。(事实上,此时两函数作差后求导必有导数单调,利用求导证明水到渠成;而且此时两函数大开大合,对该点使用切线放缩也易如反掌)
例1:(2019最后一卷T19)
已知函数 ,若函数 恰有一个零点,a的取值范围是_______。
分析:原问题转化为 和 恰有一个交点,考虑到的图像是确定的,单调,图像有迹可循,尝试用图像辅助解题。
当a<0时,由零点存在性定理得(0,1)上有一交点;当x≥1时,f(x)>0,g(x)<0,此时必没有交点,因此a<0符合题意。
当a=0时,易得符合题意。
当a>0时,a的变化可视为上下拉伸g(x),当且仅当我们把g(x)拉伸到与f(x)相切时,可以满足题目的要求:
我们假设切点为 ,则在 处有 且
由此列出方程:
综上,
例2:(2020年4月湖丽衢三市联考T10)
分析:令 , ,则原问题等价于f(x)≥g(x)对x>0恒成立
同例一中的分析,a的变化可视为上下拉伸f(x),当且仅当我们把f(x)拉伸到与g(x)相切时,则是满足题目要求的极限情况:
我们假设切点为 ,则在 处有 且
由此列出方程:
由此可得D正确,虽然说明略有不严谨,但解决选填相当有效。
以此为背景的例题数量庞大,且许多以朗博函数,同构为背景的试题以这个视角也能得到有效解答,因此共点共切线模型有着较好的普适性。
3.检验答案的合理性
有时候,出题人就是比较狠,把两个函数逼得很紧,让两个函数凹凸性一致,比如说2019年浙江高考的压轴题,这时直接借助共点共切线分析便不能直接说明了,但这并不能说明共点共切线分析毫无用处,它可以使你确信由必要性探路得到的结果是正确的。
在解题中,有重要的一步代入x=1得到 ,而这恰恰好就是答案。有人会说,What a coincidence!太巧合了!也有人说,这样风险极其大,万一尝试了半天,要证的结论是错的,那岂不是前功尽弃!
可笔者认为代入x=1有其中的特殊性与合理性。
令 ,当 时,在x=1处,有 且
发动内在的数学感知,可以感受到此时的情况及其极限,牵一发而动全身!
说句题外话:
这个不等式为什么如此难证,让全省同学为之疯狂,可以参考下图:
不得不说,lsh的数学太细了。。。
4.求分式的极值:
有时我们会遇到形如这样的问题:求 的最大值或最小值。
以求最大值为例:当f(x)和g(x)恒正时,不妨设该分式的最大值为k,在 处取到,则原式可变形为 ,且在 处等号成立。
令 ,则有 ,且在 的邻域内有,因此 ,因此 和 在 处同侧相切。
求最小值时过程同理。
综上,我们得出了 是原式取到最大值或最小值的一个必要条件。
例4:(高考押题卷T16)
函数 的最小值为________
解:我们令 , ,设函数
由上文的分析得
取到等号时的 是 的一个超越解。事实上,由于在求解方程组时我们可以运用有效的代换,可以越过x直接求得k的值。综上,最小值为
5.一些特殊的运用
这一块内容仍有待发掘,在此举一例函数相切与反函数的结合:
例5:(极其经典的老题)
a>1时,若函数 与函数 恰有一个交点,则a=_______
解:函数 与函数 互为反函数,因此两函数关于 对称,因此 与 的交点即为 与 的交点。分析可得,与 恰好相切时满足题意,设切点为 。
得到
综上,
有兴趣的朋友可以考虑a<1的情况,更加复杂但仍然可解。
四、总结:
共点共切线模型化抽象为具体,着眼于极限情况,对帮助理解函数有一定作用,在很多问题上都能找到其影子。在实际计算中,处理指对数的式子需要一定的技巧,需多加尝试
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