曲线与曲线相切的公式
一、概念引入：
教材中并没有曲线与曲线相切的概念，为了便利后文的叙述和对两个函数之间关系的理解，对于f（x）和g（x），我们定义：
若在 处有 且 ,即共点共切线，则我们称f（x）和g（x）在处相切。
特殊地，若在 处有 且在 的邻域内总有 或 ，称f（x）和g（x）在处同侧相切。
二、举例：
以下几组函数图像将帮大家直观地感受同侧相切：
① 和 在x=1处同侧相切
② 和 在x=1处同侧相切
③ 与 在x=1处同侧相切
三、实际运用：
1.构造一些比较紧的不等式：
①
②当x≥1时 ， 当0<x≤1时，
在切点附近有极强的逼近性。
事实上，帕德逼近在图像的呈现上也展现出曲线异侧相切的特点:
③当x≥0时 ， 当-1<x≤0时，
④当0≤x＜2时， ，当x≤0时，
2.定量地感知极限情况：
这种技巧往往被用在恒成立求范围问题，和恰成立问题中。
比较举例中的①和②，发现两函数凹凸性相反时，这种感觉尤为明显：
当两函数凹凸性相反且相切时，两个函数就像两只牛角，紧紧地顶住了，函数的位置关系也就确定了。而这类问题的命题老师往往是善良的，我们遇到的大多数情况中，函数都有明显的凹凸性差异，因此从这个角度分析事半功倍。（事实上，此时两函数作差后求导必有导数单调，利用求导证明水到渠成；而且此时两函数大开大合，对该点使用切线放缩也易如反掌）
例1：（2019最后一卷T19）
已知函数 ，若函数 恰有一个零点，a的取值范围是_______。
分析：原问题转化为 和 恰有一个交点，考虑到的图像是确定的，单调，图像有迹可循，尝试用图像辅助解题。
当a＜0时，由零点存在性定理得（0,1）上有一交点；当x≥1时，f(x)>0，g(x)<0，此时必没有交点，因此a＜0符合题意。
当a=0时，易得符合题意。
当a＞0时，a的变化可视为上下拉伸g(x)，当且仅当我们把g(x)拉伸到与f(x)相切时，可以满足题目的要求：
我们假设切点为 ，则在 处有 且
由此列出方程：
综上，
例2：（2020年4月湖丽衢三市联考T10）
分析：令 , ，则原问题等价于f(x)≥g(x)对x＞0恒成立
同例一中的分析，a的变化可视为上下拉伸f(x)，当且仅当我们把f(x)拉伸到与g(x)相切时，则是满足题目要求的极限情况：
我们假设切点为 ，则在 处有 且
由此列出方程：
由此可得D正确，虽然说明略有不严谨，但解决选填相当有效。
以此为背景的例题数量庞大，且许多以朗博函数，同构为背景的试题以这个视角也能得到有效解答，因此共点共切线模型有着较好的普适性。
3.检验答案的合理性
有时候，出题人就是比较狠，把两个函数逼得很紧，让两个函数凹凸性一致，比如说2019年浙江高考的压轴题，这时直接借助共点共切线分析便不能直接说明了，但这并不能说明共点共切线分析毫无用处，它可以使你确信由必要性探路得到的结果是正确的。
在解题中，有重要的一步代入x=1得到 ，而这恰恰好就是答案。有人会说，What a coincidence！太巧合了！也有人说，这样风险极其大，万一尝试了半天，要证的结论是错的，那岂不是前功尽弃！
可笔者认为代入x=1有其中的特殊性与合理性。
令 ，当 时，在x=1处，有 且
发动内在的数学感知，可以感受到此时的情况及其极限，牵一发而动全身！
说句题外话：
这个不等式为什么如此难证，让全省同学为之疯狂，可以参考下图：
不得不说，lsh的数学太细了。。。
4.求分式的极值：
有时我们会遇到形如这样的问题：求 的最大值或最小值。
以求最大值为例：当f(x)和g(x)恒正时，不妨设该分式的最大值为k，在 处取到，则原式可变形为 ，且在 处等号成立。
令 ，则有 ，且在 的邻域内有，因此 ，因此 和 在 处同侧相切。
求最小值时过程同理。
综上，我们得出了 是原式取到最大值或最小值的一个必要条件。
例4：（高考押题卷T16）
函数 的最小值为________
解：我们令 ， ，设函数
由上文的分析得
取到等号时的 是 的一个超越解。事实上，由于在求解方程组时我们可以运用有效的代换，可以越过x直接求得k的值。综上，最小值为
5.一些特殊的运用
这一块内容仍有待发掘，在此举一例函数相切与反函数的结合：
例5：（极其经典的老题）
a>1时，若函数 与函数 恰有一个交点，则a=_______
解：函数 与函数 互为反函数，因此两函数关于 对称，因此 与 的交点即为 与 的交点。分析可得，与 恰好相切时满足题意，设切点为 。
得到
综上，
有兴趣的朋友可以考虑a＜1的情况，更加复杂但仍然可解。
四、总结：
共点共切线模型化抽象为具体，着眼于极限情况，对帮助理解函数有一定作用，在很多问题上都能找到其影子。在实际计算中，处理指对数的式子需要一定的技巧，需多加尝试
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