Question

已知a、b、c为正实数,求证：a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab>=a+b+c，用演绎推理法

已知a、b、c为正实数,求证：a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab>=a+b+c，用演绎推理法

Answer 1

这个不等式涉及到两组数的乘法和，而且大的分子对应的分母反而小，正是排序不等式中的顺序和，可以考虑用排序不等式来证明。
不妨设a≥b≥c，则
a³≥b³≥c³，
1/(bc)≥1/(ca)≥1/(ab)，
因此由顺序和不小于乱序和知
原式≥a³/(ca)+b³/(ab)+c³/(bc)=a²/c+b²/a+c²/b。
又注意到
a²≥b²≥c²，
1/c≥1/b≥1/a，
由乱序和不小于倒序和知
a²/c+b²/a+c²/b≥a²/a+b²/b+c²/c=a+b+c。
综上，原式≥a+b+c。

Answer 2

您好，证明:由三元均值不等式得
(a^3/bc)+b+c>=3a
(b^3/ca)+c+a>=3b
(c^3/ab)+a+b>=3c
三式相加并整理,即得所证式.

Answer 3