为什么形如y'=f(y/x)的一阶微分方程叫齐次方程呢?

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xp11056
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一阶微分方程可化成dy/dx=f(y/x)的叫齐次方程,如(xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=O,最终可以化简为dy/dx=[y/x-(y/x)^2]/(1-2y/x),即dy/dx=f(y/x)即其右边是只关于y/x的函数!所以叫齐次方程!
定义:形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。(这里所谓的一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。)
公式:当Q(x)≡0时,方程为y'+P(x)y=0,这时称方程为一阶齐次线性方程。(这里所谓的线性,指的是方程的每一项关于y、y'、y"的次数相等。因为y'和P(x)y都是一次的,所以为齐次。)
当Q(x)≠0时,称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性方程。(由于Q(x)中未含y及其导数,所以是关于y及其各阶导数的0次项,因为方程中含一次项又含0次项,所以为非齐次。)

一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法
dennis_zyp
推荐于2017-11-27 · TA获得超过11.5万个赞
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因为经过代换u=y/x,
即y=xu
y'=u+xu'
方程化为:
u+xu'=f(u)
xu'=f(u)-u
du/(f(u)-u)=dx/x
这样就分离了变量,可以直接积分了。
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追问
我知道怎么算 但“齐次”体现在哪呢?
追答
这里的“齐次”,是指原方程中,x, y的次数相同。
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