Question

换元法解分式方程

Answer 1

　　换元法
　　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
　　解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
　　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
　　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
　　换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
　　换元的种类有：等参量换元、非等量换元
　　局部换元
　　又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4^x +2^x －2≥0，先变形为设2^x =t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
　　三角换元
　　应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-x^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x^2+y^2 =r^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
　　均值换元
　　如遇到x+y=2S形式时，设x= S+t，y= S－t等等。
　　例如清华大学自主招生考试题，已知a，b为非负实数，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值

　　可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1.

Answer 2

Answer 3

令a=1/(x+y), b=1/(x-y), 则方程组化为：
4a+6b=3 3)
-a+9b=1 4)
3)+4*4)得：42b=7, 得b=1/6
代入4): a=9b-1=9/6-1=1/2
所以
x+y=2
x-y=6
两式相加，除以2得：x=4
两式相减，除以2得：y=-2