Question

求抛物线y＝x 2 与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S．

Answer 1

答案：
解析：
　　
解析：
(1)分割 　　在区间[0，1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，1]． 　　记第i个区间为[，](i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝－＝． 　　分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn． 　　S＝ΔSi． 　　(2)近似代替 　　记f(x)＝x2．如图(3)，当n很大，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为函数f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()．就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[，]上，用小矩形的面积Δ近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有 　　ΔSi≈Δ＝f()Δx＝()2·Δx 　　＝()2·(i＝1，2，…，n)． 　　(3)求和 　　由①，得Sn＝Δ＝f()Δx＝()2· 　　＝[0·＋()2·＋…＋()2·] 　　＝[12＋22＋…＋(n－1)2] 　　＝ 　　＝(1－)(1－)． 　　从而得到S的近似值 　　S≈Sn＝(1－)(1－)． 　　(4)取极限 　　分别将区间[0，1]等分成8，16，20，…等份〔如图(5)〕，可以看到，当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，Sn＝(1－)(1－)趋向于S，从而有 　　S＝Sn＝f() 　　＝(1－)(1－) 　　＝．