求抛物线y=x 2 与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积S.

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2022-07-06 · TA获得超过5592个赞
知道小有建树答主
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(1)分割   在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:[0,],[,],…,[,1].   记第i个区间为[,](i=1,2,…,n),其长度为Δx=-=.   分别过上述n-1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积记作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn.   S=ΔSi.   (2)近似代替   记f(x)=x2.如图(3),当n很大,即Δx很小时,在区间[,]上,可以认为函数f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f().就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间[,]上,用小矩形的面积Δ近似地代替ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”,则有   ΔSi≈Δ=f()Δx=()2·Δx   =()2·(i=1,2,…,n).   (3)求和   由①,得Sn=Δ=f()Δx=()2·   =[0·+()2·+…+()2·]   =[12+22+…+(n-1)2]   =   =(1-)(1-).   从而得到S的近似值   S≈Sn=(1-)(1-).   (4)取极限   分别将区间[0,1]等分成8,16,20,…等份〔如图(5)〕,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向于0时,Sn=(1-)(1-)趋向于S,从而有   S=Sn=f()   =(1-)(1-)   =.
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