Question

归纳法的谬误和数学归纳法

Answer 1

数学里有一种证明方法和归纳法很像：

证明一个等式从n=1到n=无穷大时都成立。可以先证明当n=1时成立，然后假设n=k时等式成立（k为整数）。如果能用n=k的条件推导出n=k+1时的等式成立，那么可以得出结论：等式从n=1到n=无穷大时都成立。这就是数学中的数学归纳法。

但是，这个方法和生活中的经验归纳法有本质的区别。假如给出一个初值和一个具体的公式，你就能计算出第100个数是什么，尽管很多时候计算很繁琐，但到底是能准确算出来的，因为它有一个准确的底层逻辑作支撑。

但是假如有一个刚到地球的外星人，即使在地球的第一天经历了太阳从东边升起从西边落下，他也不会认为第二天太阳仍然会从东边升起从西边落下。一直以来，人们所看到就是太阳从东边升起从西边落下，所以自然而然地认为第二天也是这样。这种方法得出的结论非常不可靠，会很轻易被某一个小小的反例击垮。

比如你看到的天鹅，在亚洲是白色，在欧洲是白色，在美洲也是白色，于是你认为“所有的天鹅都是白色的”。但只要找出一只黑天鹅，甚至在地球之外找到一只黑天鹅，那么这个假设就自动瓦解了。

这就是归纳法在样本上的一个Bug：我们几乎没有办法穷尽所有的情况。

归纳法还有在时间上的一个Bug：大多数归纳法包含一个很隐蔽的假设，即“未来会和过去一样”，或者叫作“连续性假设”。只有有了这个假设，过去的经验才能推出未来的结果：

  （推导过程）

1. 在我们过去的经验里，太阳总是从东方升起

2. 未来和过去一样

3. 所以，将来太阳会继续从东方升起

于是，在“三体人”的认知里，今天的太阳完全不能预测第二天的太阳会怎么升起，因为在他们关于太阳升起的经验是混乱的，在他们的星系，明天可能没有太阳也可能出现多个太阳。

再来考虑一下，为什么人们会认为“未来和过去一样”呢？

原因可能是：今天和昨天一样，昨天和前天一样……一直以来就是这个样子的嘛。我们根据经验知道，未来总是和过去一样。这是很典型的通过归纳法导出的结论。即：

（推导过程）

1. 在我们的经验里，未来总是跟过去一样

2. 所以，未来还会继续和过去一样

这其中隐含了一层逻辑关系：未来和过去一样。即：

（推导过程）

  1. 在我们的经验里，未来总是跟过去一样

  2. 未来还会和过去一样

  3. 所以未来还会继续和过去一样。

可以很清楚地看出这是一个循环论证，它所需要的证据就是它要证明的对象。所以，归纳法所依赖的“连续性假设”，在逻辑上无法证明。

让人悲观的是，绝大部分的结论都是归纳法得出的。不管是社会学、经济学，甚至工程学，最终得出的那些具有一定实际操作性的结论、公式，绝大部分都是依据经验得到的。

对于复杂的系统，通过大量数据拟合得到一个够用的公式，是一种迫不得已的做法，也的确很有效。但人们还是会有那么一点好奇心和征服欲，有人会数十年如一日地练习数学题，为了推导出经济系统的数学模型。也会有人把固有的系统推翻，重新设计电能源汽车……也因此，他们超越了自我，也超越了表象，他们手里握着逻辑、真理，推动着人类社会一点一点向前进步。