有理数及其运算
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在这一单元，我们学习了有理数，我们大体可以把它分为三类，第一类是正数，第二类是负数，而最后一类最独特的就是零，它既不属于正数，也不属于负数。那有理数中间有哪些重要的部分呢？有理数可以怎样运算呢？
首先我搜返们要知道有理数为什么要诞生？这还得从很久很久以前说起。在很早的时候，我们的祖先就已经知道用数表示现实生活中的问题。比如打了一只猎物，就放一根小棒，在收获一只，就再放一根。而负数的诞生是因为有收入就会有支出，只用正数是不够的。如果吃掉一只就斜着放一根，从这里我们也可以看出负数和减法的关系，如果被减数为0，那就是负数，如果被减数是正数，那就是减法。而在发明负数之后，我们也发现了很多有意思的量，比如相反数，负负得正这些观念，我们会在文章后面探究。有理数分为正数，负数和0这三类。比如正数中的3，它有确切的数值，比1增加了2比4减少了1。而和他相反的，是无理数。比如π，它无法作比较，我们更不知道它的尽头在哪里。这就被我们称为无理数。
而和有理数有关的还有绝对值和相反数。绝对值就是在数轴中与原点之间的距离，被称为绝对值。而在所有数中，绝对值最小的数就是0，它和原点的距离就是0。比如数轴中的原点为0，而我们现在所在的点是3，那3到0这段距离就被称世首饥为3的绝对值，-3的绝对值和3的绝对值是一样的，而我们写做|3|。绝对值一定是非负数，距离不能表现为负数。相反数的定义就更加简单，它的意思就是在数轴上与它相对的数。数轴左侧的3，它的相反数就是数轴右侧的3。而当我们知道了绝对值和相反数，能运用它们干什么呢？
可以用来比大小。分为正数比大小，和负数比大小。正数和负数比大小的时候，正数一定大于负数，因为在数轴上，规定的就是数越往右边越大，而正数就是在右边。负数和负数比大小，绝对值越小的越大，因为绝对值越小也就意味着离右边越近，越往右边数越大。正数和正数比大小，绝对值越大的越大。
也可以用来运算。先说我们最熟悉的加减法，在有理数的运算中，我们可以把加法和减法看成一种运算方法。为什么要这样呢？因为加法有交换律和结合律，会更方便我们运算，如：-5-3-2=5+(-3)+(-2)，而减法并没有这样的运算定律。在原来我们就学过加减互逆，而这个时候，我们就可以把减一个正数变成加上一个负数，那这是怎样的一个原理呢？芹谨我们可以在数轴上进行演示，如下图：
在图上，我们可以发现，不管是减37还是加负37，在数轴上跳的位置都是一样的，都是向左跳37，跳到负37的位置。其实这个原理也非常简单，负37其实可以看做0-37，比如3-37，我们就是把3作为原点。而我们对负数的定义就是把0作为原点，然后-37。而我们从这里也可以联想到前面，-37和+（-37），可以看做是0-37，和0+（-37）加减可以互逆，那么计算起来就会更简单，具体的法则如下：
1.正数加负数：如果正数的绝对值更大，那么结果的符号为正。如果负数的绝对值更大，那么结果的符号等于负号。如图：
因为如果正数的绝对值更大，就会往右边跳的更多，绝对值小的跳不回来。而负数的绝对值更大，就会往左边跳的更多，绝对值小的跳不回来，而往哪边跳的更多，自然就是哪个数。（正数负数）。
2.正数加正数：（这个我们在原来已经学习过了，在这里就不讲了。）
说完了正数加正数，那负数加负数呢？
3.负数加负数：负数加负数一定等于负数。首先加一个负数就已经在零的左边，而再加一个负数，就是又向左边跳了一些，具体的得数就是两个负数的绝对值相加，因为在0的左边，所以在前面加一个负号。
而减法在这里，我们可以把它算成加法（在前面讲过了），也可以用它本身的运算法则。
1.正数减负数：正数减负数等于加一个正数。因为负负得正，这个原理就和我们照镜子一样。在平常，我们减一个正数就是向数轴的左边跳一个数值，而减一个负数正好相反，就是从0开始，向数轴的右边加一个数值。
2.负数减负数：负数减负数，我们也可以把它算成负数加正数。因为在前面讲过的负负得正。这样就跟加法是一样的，如果被减数的绝对值大于减数，结果得负。如果减数的绝对值大于被减数，结果得正。
负数减正数：负数减正数一定等于负数，如下图：
首先向数轴左边跳一个负数，然后减正数，就是在跳到原来负数的基础上，再向左边跳正数的格数。
正数减正数：如果正数减的这个正数的绝对值大于被减数，那么结果等于负数，如果小于则反之。
下面我们说乘除法，其实，乘除法我们也可以把除法变成乘法，在学分数乘法的时候，我们学过一个分数，除以一个数，就是乘这个数的倒数，所以我们也可以把除法化成乘法。运算法则如下：
1.负数乘负数：负数乘负数等于正数，因为负负得正，如3乘-2，可以解释为3个-2相乘。而-3乘-2，则解释为-3个-2相乘，在数轴上就是3个2相乘，-3的负号就可以和-2的负号消掉。在后面我们也会经常用到这个规律。
2.负数乘正数：负数乘正数，其实我们可以这样理解，比如说-7×6，我们可以把它看成6个-7相加，6个-7相加就是向数轴左边跳7格，跳6个这样的，等于-42。
而下面的就是除法，其实除法并没有什么好说的，只要把它转化为乘法之后，就可以跟乘法相同的运算。
由此我也发现了一个规律，当我们在后面碰到混合运算的时候，可以把式子中的两个负号互相抵消，这个结论我们是站在负负得正的基础上。如果负号是奇数个，那么这个式子的结果就是负数。如果负号是偶数个，那这个式子的结果就是正数。不管怎样抵消，最后都剩一个负号。而偶数个负号刚好抵消完，就是一个正数。
之前我们学习了四则运算，分别 是加减乘除，而在学有理数的运算这一单元中，我们又新接触了一种运算，叫做乘方，比如二的三次方，就是2乘2乘2，乘三次。而在乘方中，每一部分都有他自己的名字，如下图：
而当我们读的时候，也可以把它读作，几的几次方，或几的几次幂。乘方运算是比原来的四则运算更加高级的运算，虽然说本质和乘法运算是一样的，但是形式和写法都不一样，所以他就拥有一个新名字叫做乘方运算。而在乘方运算中。我们也可以运用前面发现的规律，负数的奇次方相乘，这个数就还是负数，负数的偶次方相乘，这个数就是正数，这样会好算很多。那么，乘方真正的用处到底在哪里呢？
我们可以用科学计数法来表示大数，之所以要用科学记数法表示是因为这样表示会更简便，在不管是读和写的领域都是一样的。这也是运用乘方的原理。科学计数法规定，前面的数要大于1小于10，而为什么要大于1小于10呢？因为这样就可以固定在一个范围内，否则有无数种表示方法。后面乘的数要是10的n次方。到底是几次方呢？就要看后面有几个零，比如有3个0就是3次方，还要看小数点的移动位数，向前移动一位就是多一次方，向右就是少一次。如下图：
而在未来，我们也许会学习开跟，拓展更多的关于乘方的内容，敬请期待
其实在之前我们一直学习的都是有理数，现在不过是把它扩展到了负数的领域，又增加了一个新的乘方运算。有理数的运算在生活中是非常常用的，一定要理解并且熟练的运用哦
首先我搜返们要知道有理数为什么要诞生？这还得从很久很久以前说起。在很早的时候，我们的祖先就已经知道用数表示现实生活中的问题。比如打了一只猎物，就放一根小棒，在收获一只，就再放一根。而负数的诞生是因为有收入就会有支出，只用正数是不够的。如果吃掉一只就斜着放一根，从这里我们也可以看出负数和减法的关系，如果被减数为0，那就是负数，如果被减数是正数，那就是减法。而在发明负数之后，我们也发现了很多有意思的量，比如相反数，负负得正这些观念，我们会在文章后面探究。有理数分为正数，负数和0这三类。比如正数中的3，它有确切的数值，比1增加了2比4减少了1。而和他相反的，是无理数。比如π，它无法作比较，我们更不知道它的尽头在哪里。这就被我们称为无理数。
而和有理数有关的还有绝对值和相反数。绝对值就是在数轴中与原点之间的距离，被称为绝对值。而在所有数中，绝对值最小的数就是0，它和原点的距离就是0。比如数轴中的原点为0，而我们现在所在的点是3，那3到0这段距离就被称世首饥为3的绝对值，-3的绝对值和3的绝对值是一样的，而我们写做|3|。绝对值一定是非负数，距离不能表现为负数。相反数的定义就更加简单，它的意思就是在数轴上与它相对的数。数轴左侧的3，它的相反数就是数轴右侧的3。而当我们知道了绝对值和相反数，能运用它们干什么呢？
可以用来比大小。分为正数比大小，和负数比大小。正数和负数比大小的时候，正数一定大于负数，因为在数轴上，规定的就是数越往右边越大，而正数就是在右边。负数和负数比大小，绝对值越小的越大，因为绝对值越小也就意味着离右边越近，越往右边数越大。正数和正数比大小，绝对值越大的越大。
也可以用来运算。先说我们最熟悉的加减法，在有理数的运算中，我们可以把加法和减法看成一种运算方法。为什么要这样呢？因为加法有交换律和结合律，会更方便我们运算，如：-5-3-2=5+(-3)+(-2)，而减法并没有这样的运算定律。在原来我们就学过加减互逆，而这个时候，我们就可以把减一个正数变成加上一个负数，那这是怎样的一个原理呢？芹谨我们可以在数轴上进行演示，如下图：
在图上，我们可以发现，不管是减37还是加负37，在数轴上跳的位置都是一样的，都是向左跳37，跳到负37的位置。其实这个原理也非常简单，负37其实可以看做0-37，比如3-37，我们就是把3作为原点。而我们对负数的定义就是把0作为原点，然后-37。而我们从这里也可以联想到前面，-37和+（-37），可以看做是0-37，和0+（-37）加减可以互逆，那么计算起来就会更简单，具体的法则如下：
1.正数加负数：如果正数的绝对值更大，那么结果的符号为正。如果负数的绝对值更大，那么结果的符号等于负号。如图：
因为如果正数的绝对值更大，就会往右边跳的更多，绝对值小的跳不回来。而负数的绝对值更大，就会往左边跳的更多，绝对值小的跳不回来，而往哪边跳的更多，自然就是哪个数。（正数负数）。
2.正数加正数：（这个我们在原来已经学习过了，在这里就不讲了。）
说完了正数加正数，那负数加负数呢？
3.负数加负数：负数加负数一定等于负数。首先加一个负数就已经在零的左边，而再加一个负数，就是又向左边跳了一些，具体的得数就是两个负数的绝对值相加，因为在0的左边，所以在前面加一个负号。
而减法在这里，我们可以把它算成加法（在前面讲过了），也可以用它本身的运算法则。
1.正数减负数：正数减负数等于加一个正数。因为负负得正，这个原理就和我们照镜子一样。在平常，我们减一个正数就是向数轴的左边跳一个数值，而减一个负数正好相反，就是从0开始，向数轴的右边加一个数值。
2.负数减负数：负数减负数，我们也可以把它算成负数加正数。因为在前面讲过的负负得正。这样就跟加法是一样的，如果被减数的绝对值大于减数，结果得负。如果减数的绝对值大于被减数，结果得正。
负数减正数：负数减正数一定等于负数，如下图：
首先向数轴左边跳一个负数，然后减正数，就是在跳到原来负数的基础上，再向左边跳正数的格数。
正数减正数：如果正数减的这个正数的绝对值大于被减数，那么结果等于负数，如果小于则反之。
下面我们说乘除法，其实，乘除法我们也可以把除法变成乘法，在学分数乘法的时候，我们学过一个分数，除以一个数，就是乘这个数的倒数，所以我们也可以把除法化成乘法。运算法则如下：
1.负数乘负数：负数乘负数等于正数，因为负负得正，如3乘-2，可以解释为3个-2相乘。而-3乘-2，则解释为-3个-2相乘，在数轴上就是3个2相乘，-3的负号就可以和-2的负号消掉。在后面我们也会经常用到这个规律。
2.负数乘正数：负数乘正数，其实我们可以这样理解，比如说-7×6，我们可以把它看成6个-7相加，6个-7相加就是向数轴左边跳7格，跳6个这样的，等于-42。
而下面的就是除法，其实除法并没有什么好说的，只要把它转化为乘法之后，就可以跟乘法相同的运算。
由此我也发现了一个规律，当我们在后面碰到混合运算的时候，可以把式子中的两个负号互相抵消，这个结论我们是站在负负得正的基础上。如果负号是奇数个，那么这个式子的结果就是负数。如果负号是偶数个，那这个式子的结果就是正数。不管怎样抵消，最后都剩一个负号。而偶数个负号刚好抵消完，就是一个正数。
之前我们学习了四则运算，分别 是加减乘除，而在学有理数的运算这一单元中，我们又新接触了一种运算，叫做乘方，比如二的三次方，就是2乘2乘2，乘三次。而在乘方中，每一部分都有他自己的名字，如下图：
而当我们读的时候，也可以把它读作，几的几次方，或几的几次幂。乘方运算是比原来的四则运算更加高级的运算，虽然说本质和乘法运算是一样的，但是形式和写法都不一样，所以他就拥有一个新名字叫做乘方运算。而在乘方运算中。我们也可以运用前面发现的规律，负数的奇次方相乘，这个数就还是负数，负数的偶次方相乘，这个数就是正数，这样会好算很多。那么，乘方真正的用处到底在哪里呢？
我们可以用科学计数法来表示大数，之所以要用科学记数法表示是因为这样表示会更简便，在不管是读和写的领域都是一样的。这也是运用乘方的原理。科学计数法规定，前面的数要大于1小于10，而为什么要大于1小于10呢？因为这样就可以固定在一个范围内，否则有无数种表示方法。后面乘的数要是10的n次方。到底是几次方呢？就要看后面有几个零，比如有3个0就是3次方，还要看小数点的移动位数，向前移动一位就是多一次方，向右就是少一次。如下图：
而在未来，我们也许会学习开跟，拓展更多的关于乘方的内容，敬请期待
其实在之前我们一直学习的都是有理数，现在不过是把它扩展到了负数的领域，又增加了一个新的乘方运算。有理数的运算在生活中是非常常用的，一定要理解并且熟练的运用哦
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