Question

设正整数m,n满足:关于x的方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个正整数解,证明:2(m

Answer 1

2015年全国初中数学竞赛题

设正整数m,n满足:关于x的方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个正整数解,
证明:2(m²+n²）≤5mn
(1)本题有误，应该是至少有一个整数解而非正整数解，
否则设x为其正整数解，那么x大于等于1，有x²≥x x(m+n）≥m+n
因此 (x+m)(x+n)=x²+x(m+n）+mn≥x +m+n+mn>x+m+n 不可能
（2）若改成(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个整数解
方程改为x²+（m+n-1）x+(mn-m-n)=0
又韦达定理可知 x1+x2=1-m-n为整数，可知两根均为整数
判别式△=（m+n-1）²-4(mn-m-n)=(m-n+1)²+4n=（m-n+3）²-4(m-2n+2)
应为完全平方数
由对称性不妨设m≥n，若m-2n+2>0 ，明显只能是△=（m-n+2）²
此时 (m-n+1)²+4n=（m-n+2）² 可得到4n=（m-n+2）² -（m-n+1）²=2m-2n+3
左偶右奇不可能 ，所以 n≤m≤2n-2
2(m²+n²）-5mn=(2m-n)(m-2n)<0
所以 2(m²+n²）<5mn
注：m=2n-2时 方程有整数解 x=-n+2, x=-2n+1

Answer 2

左边：x^2+(m+n)x+mn 右边：x+(m+n)+0
由于x,m,n是正整数，则 x^2大于等于x
(m+n)x大于等于(m+n)
mn大于0
显然左边>右边
所以，题目有误。