Question

二次型的规范型是什么?

Answer 1

先把二次型f化为标准形：f=λ1*(y1)^2+...+λs*(ys)^2-|λ<s+1>|*)(y<s+1>)^2-...-|λr|*(yr)^2。

这里λ1,...,λs是二次型f矩阵正的特征值，λ<s+1>,...,λr是二次型f矩阵负的特征值，如果二次型f矩阵没有特征值0，则r=n。

再令u<i>=y<i>*√|λ<i>|，就得到f的规范形：f=(u1)^2+...+(us)^2-(u<s+1>)^2-...-(ur)^2。

相关信息：

二次型：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。

术语二次型也经常用来提及二次空间，它是有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。