Question

如何证明极限AB相等

Answer 1

证明极限AB相等：如果{an}收敛，那么它所有子列都收敛，因此上下极限相等。如果{an}不收敛，那么至少存在两个子列，它们的极限不等，因此有上极限大于下极限。

原式=lim(n->∞) [(1+1/2+1/(n+1))-(1+1/2+...+1/n)]/[(n+1)-n]

=lim(n->∞) 1/(n+1)

=0

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。