Question

已知函数y＝f（x）（x属于R）的图像过点（1，0），f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的

已知函数y＝f（x）（x属于R）的图像过点（1，0），f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为？

Answer 1

解集为（0，1]。

设F(x)=f(x)-lnx
则F'(x)=f'(x)-1/x
因x>0时，xf'(x)>1
则f'(x)>1/x
所以f'(x)-1/x>0
即F'(x)>0
所以F(x)在(0,+∞)上单调增。
又F(1)=f(1)-ln1=0
所以当0<x<1时，F(x)<0
当x>1时，F(x)>0
所以F(x)<=0的解集为(0,1].

Answer 2

x>0时，f'(x)>1/x，f'(x)-1/x>0
设g(x)=f(x)-lnx，则g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，g(x)在(0,+∞)上增
g(1)=f(1)-0=0.
所以f(x)-lnx≤0等价于g(x)≤0，解得0<x≤1.
由lnx有意义时x>0知，解集为(0,1]