Question

等价无穷小代换只能在X趋近于0时才能用吗

Answer 1

不是。

1、等价无穷小代换，并不在于 x 趋向于什么，而在于函数的分子、分母、幂次、复合变量的结果趋向于什么。

2、但是在教学中，常常误导为等价无穷小代换 sinx / x = x / x = 1。这个前提是 x 趋向于 0。

但是sin(x - ½π) / (x - ½π)，在 x 趋向于 ½π 时，分子分母是等价无穷小；sin(1/x) / (1/x) 在 x 趋向于无穷大时，分子分母是等价无穷小。

扩展资料

当x→0时，等价无穷小：

（1）sinx~x 

（2）tanx~x 

（3）arcsinx~x 

（4）arctanx~x 

（5）1-cosx~1/2x^2 

（6）a^x-1~xlna 

（7）e^x-1~x 

（8）ln(1+x)~x 

（9）(1+Bx)^a-1~aBx 

（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx 

（11）loga(1+x)~x/lna

Answer 2

不是。

1、等价无穷小代换，并不在于 x 趋向于什么，而在于函数的分子、分母、
幂次、复合变量的结果趋向于什么。

2、sinx/x，原本是一个极为重要的 special limit，我们翻译成重要极限。
但是在教学中，常常误导为等价无穷小代换 sinx / x = x / x = 1。
这个前提是 x 趋向于 0。

但是
sin(x - ½π) / (x - ½π)，在 x 趋向于 ½π 时，分子分母是等价无穷小；
sin(1/x) / (1/x) 在 x 趋向于无穷大时，分子分母是等价无穷小。

3、微积分中的很多公式，不是看形式，而是看含义，也就是公式的意思。