Question

课本上有 所有初等函数在他们任何定义区间内是连续的，但初等函数在定义域内不一定连续。

但对于函数y=根号下（cosx-1）来说 它是初等函数 但其定义域为一个个孤立的点 那么在其任意定义区间内都是不连续的 不是与书本上的话不符合课本上有

Answer 1

怎么说呢？
初等函数在他们任何定义区间内是连续的。
但是不代表初等函数的定义域是连续的。
对于y=√（cosx-1）来说，其间断的缘故是定义域不连续。它不存在任何定义域区间，它的每个定义域区间都是一个单独的点。所以也可以说这个函数不是在定义域内不连续，而是因为定义域不连续而不连续的。

那么什么叫定义域内不连续呢？
比方说分段函数
f（x）=1，（x≥0）；-1（x＜0）
这个函数的定义域是全体实数，是个连续的区间，x=0是其定义域范围内，x=0的某个邻域也是其定义域范围内，但是这个函数在x=0处不连续。这就是真真正正的定义域内不连续。x=0点的邻域内有定义，但是在x=0点处不连续。

定义域内连续，是需要把定义域不连续导致的不连续除开的。

追问

就是说书本上这句话成立的条件是函数定义域要连续？

追答

当然，例如初等函数f（x）=1/x，在x=0处不连续，但是不影响初等函数在定义域内连续的性质，因为这是定义域不连续导致的。
简单的讲，初等函数这个性质，使得我们做初等函数题目时，只需要考虑是不是在定义域内，定义域是不是连续，就行了。
但是做非初等函数时，就算是在定义域内，对于某些点，还需要根据连续的定义去证明一下是不是连续。

Answer 2

首先，定义域外不用管，而在定义域内确实在这些点处根据连续性定义不连续，

但原结论没有问题。推出矛盾是因为使用前提不对、结论被错误适用。

关键在于“区间”二字，定义域和定义区间是不同的。

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困惑这个问题的回去看看课本吧。摘自同济第七版。

基本初等函数在它们的「定义域」内都是连续的。

一切初等函数在其「定义区间」内都是连续的。

再看「定义区间」的解释定义区间（注意：“孤立的点构不成任何区间”）

也就是说，这个关于初等函数连续性的结论，使用要求必须是在一个区间内，而不能用于独立的点上。尽管这个独立的点也是在定义域上。

（这里跟所谓的“定义域要连续”类似，这话也可以用来帮助理解，但是“定义域连续”是一个不严谨的说法。因为没有定义域连不连续的相关定义，而只有函数连不连续的定义，最好讲区间。

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y=根号下（cosx-1）的定义域内只有一些孤立的点，而这些点构不成任何区间，所以这个函数压根没有任何「定义区间」。

这些点是在其「定义域」内的、但是这些孤立的点是不在其「定义区间」内。

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综上，原结论是没问题的，只是此函数不适用此结论。

Answer 3

你说的根号下(cosx-1)是复合函数，书上有关于复合函数连续的定理，连续是对点连续，点没有定义当然不用讨论这个点。

Answer 4

建议好好看看对于连续性的定义，对于如果定义域是非极限点的话，函数根据定义是连续的。

Answer 5

在“定义区间”的百度百科词条中可以看出定义区间不包含孤立的点。所提问中的所说的函数定义域为无数个孤立的点组合，而这些点并不构成定义区间，所以提问中的课本结论上半句并不适用（因为此函数并不存在定义区间）；而对于下半句而言，因为定义域为无数个单点所构成 ，所以不连续，符合“初等函数在定义域内不一定连续”结论。