Question

设向量a1＝（1,4,0,2）的转置，a2＝（2,7,1,3）的转置 a3＝（0,1,-1,a）

设向量a1＝（1,4,0,2）的转置，a2＝（2,7,1,3）的转置 a3＝（0,1,-1,a）的转置，β＝（3，10，b,4）问a b取何值时，β不能由a1，a2，a3线性表示？

Answer 1

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。