Question

为什么y=|x|在x=0处不可导？

Answer 1

y = |x| 当 x <0 y' = (-x)' = -1 当 x >0 y' = (x)' = 1 可见在0点 y 的导数突变，因此在 0 点不可导。

函数导数不存在的地方。如果函数不连续（间断点,或者垂直渐近线），那么那个地方就是不可导的，因为本身就不在函数的定义域内。函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。

不可导的点：

共有四种情况：

1、无定义的点,没有导数存在，例如分母为0的点；[无定义]。

2、不连续的点,或称为离散点,导数不存在；[不连续]。

3、连续点,但是此点为尖点,左右两边的斜率不一样,也就是导数不一样,不可导；[不光滑]。

4、有定义,连续、光滑,但是斜率是无穷大。[导数值为∞]。

例如

圆的左右两侧的切线是竖直的,斜率为无穷大,我们也说导数不存在。

Answer 2

y=|x|在x=0处不可导的原因是左右极限不相等。|y=|x|实际上实际上是分段函数，y=x(x>=0)y=-x(x=<0)。

分别求导就会发现，y=x导数为y=1，y=-x导数为y=-1，也就是说这两段导数在x=0处不连续，则该函数在x=0处不可导。函数图像是“光滑”的，不存在“尖点”。y=|x|，可以画出它的图像，是一个V形，在x＝0处正好是V字的“尖点”，所以不可导。

函数可导的条件：

1、函数在该点的去心邻域内有定义。

2、函数在该点处的左、右导数都存在。

3、左导数＝右导数。

注：这与函数在某点处极限存在是类似的。