Question

y=ln(x+√1+x^2)的反函数是什么?

Answer 1

函数y=ln(x+√1+x2)的反函数是y=[e^x-e^(-x)]/2。

y=ln[x+√(1+x^2)]。

e^y=x+√(1+x^2)……(1)。

e^(-y)=1/[x+√(1+x^2)]。

=[-x+√(1+x^2)]/{[x+√(1+x^2)][-x+√(1+x^2)]。

=-x+√(1+x^2)……(2）。

（1）-（2），得到e^y-e^(-y)=2x。

x=[e^y-e^(-y)]/2。

所以所求反函数是：y=[e^x-e^(-x)]/2。

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。