Question

无理数e的由来是什么?

Answer 1

无理数e的由来是希伯索斯所创，具体如下。

公元前五百年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。

相关知识

e的发现始于微分，当h逐渐接近零时，计算之值，其结果无限接近一定值2.71828。这个定值就是e，最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉，他以自己姓名的字头小写e来命名此无理数。

计算对数函数的导数，得，当a=e时，的导数为，因而有理由使用以e为底的对数，这叫作自然对数。e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名。也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier)引进对数。

Answer 2

无理数e的由来是因为它是自然对数的底数。自然对数是一种特殊的对数，以常数e为底数。e是一个无理数，其值约等于2.71828。e最早由瑞士数学家约翰·纳皮尔斯·伯努利通过研究复利现象而引入，称其为“自然增长率”。后来，法国数学家勒让德将其命名为e，并将其作为自然对数的底数进行广泛应用。e具有许多重要的数学和科学应用，如微积分、概率论、复数、级数等领域。

Answer 3

无理数e是一个特殊的数学常数，约等于2.71828。e的定义和由来与指数函数和对数函数的性质和关系密切相关。

e最早由瑞士数学家欧拉（Euler）在18世纪提出，并被广泛应用于数学和科学领域。欧拉将e定义为无穷级数的和，即：

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

其中，n!表示阶乘，即n的阶乘等于1*2*3*...*n。

这个级数在不断累加之后，最终会趋近于一个无穷的、无理的数，即e。在实际计算中，可以通过截断级数的方式得到一个近似值。事实上，数学家已经证明e是一个无理数，并且是超越数（即不能用有限个代数运算表示的实数）。

无理数e的重要性体现在它与指数函数和对数函数的关系上。具体而言，e^x（e的x次方）是以e为底的指数函数，ln(x)（以e为底的对数）则是以e为底的对数函数。e的定义和性质使得指数函数和对数函数具有许多重要的数学性质和应用，涉及到微积分、复数、概率统计、物理学等领域。

无理数e的重要性和广泛的应用使得它成为了数学常数中的一个重要成员，与π、φ（黄金分割比）等一起被广泛研究和应用于各个领域。

Answer 4

e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828...，它是这样定义的：

当n∞时，(1+1/n)^n的极限

首先我们在学习指数和对数函数（exponentials and logarithms）时，书上告诉我们的答案是e是一个无理数，它近似等于2.71828……，而且这个指数函数（exponential function）具有一个很好的性质——它的导数（gradient）图像和本身是重合的，即. 这些大家都知道了，可还是一头雾水的感觉，e到底是什么，为什么会有这样一个无理数呢？

我们先来看一个有趣的小故事：从前，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，年利率100%，即一年后利息1元，商人要连本带利还2元。财主一想，利息好多呢，如果半年结一次，利率就是50%,这样一年就连本带利=2.25元，也就是半年结一次账比之前的利息还要多。财主又想，如果一年结3次，4次，5次，……365次，……那岂不是要发财啦？财主继续算了一算，如果一年结3次，利率为1/3，一年之后连本带利是=2.37037……元；如果一年结算4次，利率为1/4，一年后连本带利是=2.44140元；财主激动地想，如果一年结算1000次，本利和是,看起来这么大的数，我岂不是要发了？OK，让我们来认真算一下，=2.71692元，看来是要令财主大失所望了。财主的想法是，结算次数越多，利息增长的也越快，可他却没预料到，确实是随着n的增大而增大的，但是增加的速率却是越来越小，而且不管n有多大，本利和永远不会超过一个确定的上限，这个上限就是2.71828……。因此科学家欧拉就把（即“”）记作e，即e=2.71828……，它是自然对数的底。

e在科学技术中用的非常多，以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。人们在研究一些实际问题，比如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究当x趋近于无穷时的极限，不管x趋向于正无穷还是负无穷，结果都趋向于一个常数e=2.71828……。

Answer 5

自然对数中的无理数 e 是一个非常重要的数，它的确定方式有多种方式一种最常见的方式是通过级数展开的方式得到 e。即通过下面的等式：
\[e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots\]

其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。

通过计算级数的逐项相加，可以得到 e 的近似值。这个级数无论 n 取多大，都会无限接近于 e。因此，可以通过不断增加级数的项数来增加计算 e 的精确度。

另外，e 还可以通过微积分的方式得到。自然对数 e 的定义为 e = lim(1 + 1/n)^n （n趋于无穷大）。这个极限的值就是 e。这个定义与级数展开可以互相证明等价。

无论是级数展开还是极限定义，都能得到一个无理数 e 的近似值，它是一个无限不循环小数。常见的一个近似值是 e ≈ 2.71828。

e 的重要性在于它与指数函数有密切的联系，而指数函数在数学和科学中非常常见和重要。因此，e 在许多领域中都有广泛的应用，如计算机科学、物理学、工程学等。