Question

为什么有界不一定收敛?

Answer 1

有界数列不一定收敛。例如，已知数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。又例如数列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1{b(n)}有界，b(n)为摆动数列，但是不收敛。

有界数列和收敛的区别有以下两点：

1、收敛数列一定是有界数列，有界数列不一定是收敛数列。

2、收敛数列趋向于一个定值，有界数列趋向于一个极限值。

有界数列：

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

假设存在定值a，任意n有｛An（n为下角标，下同）＝B，称数列｛An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列｛An}的值在区间［A,B]内，数列有界。