Question

sin(x^2)的积分是多少?

Answer 1

回答如下：

d/dx ∫<0,x>(sin²t)dt

=d/dx (1/2)∫<0,x>(1-cos2t)dt

=d/dx (1/2)[∫<0,x>dt-(1/2)∫<0,x>cos2td(2t)]

=d/dx (1/2)[t<0,x>-(1/2)*sin2t<0,x>+C]

=d/dx (1/2)[x-(1/2)sin2x+C]

=(1/2)[1-(1/2)*cos2x*2]

=(1/2)(1-cos2x)

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

不定积分的意义：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。

即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。