Question

基本不等式链有哪些？

Answer 1

高中4个基本不等式链：

√[（a+b）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

一、基本不等式

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

二、基本不等式两大技巧

“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

三、基本不等式中常用公式

（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。（当且仅当a=b时，等号成立）

（2）√(ab)≤(a+b)/2。（当且仅当a=b时，等号成立）

（3）a²+b²≥2ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

（4）ab≤(a+b)²/4。（当且仅当a=b时，等号成立）

（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。（当且仅当a=b时，等号成立）

四、不等式定理口诀

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图、建模、构造法。

Answer 2

基本不等式链是一组进行不等式推导的基本不等式，其中包括一元不等式、二元不等式和绝对值不等式。以下是常见的基本不等式链及其示例：
1. 一元不等式链：
a) 正数平方不等式：对于任意正实数 a 和 b，有 a² ≥ 0。
举例：x² ≥ 0，对任意实数 x。
b) 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
举例：(x + y)/2 ≥ √(xy)，对任意非负实数 x、y。
2. 二元不等式链：
a) 平方差不等式：对于任意实数 a 和 b，有 (a - b)² ≥ 0。
举例：(x - y)² ≥ 0，对任意实数 x、y。
b) 单边不等式：对于任意实数 a 和 b，如果 a ≤ b，则 a + c ≤ b + c，其中 c 为任意实数。
举例：x ≤ y，则 x + 2 ≤ y + 2，对任意实数 x、y。
3. 绝对值不等式链：
a) 绝对值平方不等式：对于任意实数 a，有 |a|² = a²。
举例：|x|² = x²，对任意实数 x。
b) 绝对值三角不等式：对于任意实数 a 和 b，有 |a + b| ≤ |a| + |b|。
举例：|x + y| ≤ |x| + |y|，对任意实数 x、y。
这些基本不等式链在不等式证明和问题求解中经常被使用。它们提供了重要的推理框架和工具，帮助我们理解和解决各种不等式。

Answer 3

常见的基本不等式链包括以下几个：
1. 三角不等式链：
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a - b| ≥ ||a| - |b||
|a - b| ≤ |a| + |b|
2. 平均值不等式链：
算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 开平均
3. 幂不等式链：
如果 a > b > 1 且 x > 0，则 a^x > b^x；如果 0 < a < b < 1 且 x > 0，则 a^x < b^x
4. 柯西-施瓦茨不等式链：
|∑(ai * bi)| ≤ √(∑a^2) * √(∑b^2)
5. 任意不等式链：
如果 a < b ，则 a + c < b + c
如果 a < b ，且 c > 0，则 a * c < b * c
如果 a < b ，且 c < 0，则 a * c > b * c
如果 a < b ，且 0 < c < 1，则 a^c < b^c
如果 a < b ，且 c > 1，则 a^c > b^c
以上是一些常见的基本不等式链，但还有其他更多的不等式链存在。这些不等式链在数学证明和问题求解中具有重要作用，可以帮助我们推导出更复杂的不等式和问题的解。

追答

常见的基本不等式链包括以下几个：
1. 三角不等式链：
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a - b| ≥ ||a| - |b||
|a - b| ≤ |a| + |b|
2. 平均值不等式链：
算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 开平均
3. 幂不等式链：
如果 a > b > 1 且 x > 0，则 a^x > b^x；如果 0 < a < b < 1 且 x > 0，则 a^x < b^x
4. 柯西-施瓦茨不等式链：
|∑(ai * bi)| ≤ √(∑a^2) * √(∑b^2)
5. 任意不等式链：
如果 a < b ，则 a + c < b + c
如果 a < b ，且 c > 0，则 a * c < b * c
如果 a < b ，且 c < 0，则 a * c > b * c
如果 a < b ，且 0 < c < 1，则 a^c < b^c
如果 a < b ，且 c > 1，则 a^c > b^c
以上是一些常见的基本不等式链，但还有其他更多的不等式链存在。这些不等式链在数学证明和问题求解中具有重要作用，可以帮助我们推导出更复杂的不等式和问题的解。

Answer 4

1.平均不等式 2.柯西-施瓦茨不等式3.马尔可夫不等式4.切比雪夫不等式