Question

罗尔定理常见题型有哪些？

Answer 1

罗尔定理常见题型如下：

证：F(0)=0³·f(0)=0，F(1)=1³·f(1)=0

由罗尔中值定理得：在(0，1)内至少有一点ξ1，使得

F'(ξ1)=[F(1)-F(0)]/(1-0)=0

F'(x)=3x²f(x)+x³·f'(x)

F'(0)=3·0²·f(0)+0³·f'(0)=0

由罗尔中值定理得：在(0，ξ1)内至少有一点ξ2，使得

F''(ξ2)=[F'(ξ1)-F'(0)]/(ξ1-0)=0

F''(x)=6xf(x)+3x²f'(x)+3x²f'(x)+x³·f''(x)

F''(0)=6·0·f(x)+3·0²·f'(x)+3·0²·f'(x)+0³·f''(x)=0

由罗尔中值定理得：在(0，ξ2)内至少有一点ξ，使得

F'''(ξ)=[F''(ξ2)-F''(0)]/(ξ2-0)=0

(0，ξ2)⊂(0，1)

即：在(0，1)内至少有一点ξ，使F'''(ξ)=0

罗尔定理介绍：

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

以上内容参考：百度百科-罗尔定理