Question

lnsinx的不定积分是什么？

Answer 1

lnsinx的不定积分是M=(-лln2)/2。

∫lnsinx dx

=xlnsinx-∫x d(lnsinx)

=xlnsinx-∫x*1/sinx*cosx dx

=xlnsinx-∫xcotx dx

基本上∫xcotx dx是无法用初等函数解决的,可利用复数形式解但∫xcotx dx=xln[1-e^(2ix)]-1/2*i{x²+Li_2 [e^(2ix)]}。

正弦定理：

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f(c)=r tanα sin(c/r)。

α:椭圆所在面与水平面的角度。

c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）。

以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。