小学数学教学中的变式教学
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所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。
一、概念性变式
数学概念在教学中的变式主要包括两类：一类是改变概念的外延的呈现，即概念外在形式在变化，属于概念外延集合的变式；另一类是改变数学概念的内涵，即呈现于原概念有某些相同非本质属性的反例，它不属于原概念的外延集合。概念性变式是小学数学概念教学中的重要手段，其作用是帮助学生“去伪存真”，获取对概念的多角度理解与较全面的认识。
1．变化概念的非本质属性
所谓概念的非本质属性，是指对该概念不具有决定意义的属性。变化概念的非本质属性是在小学数学概念教学中采用最多的概念性变式。它的心理学依据是，概念变式在转换事物非本质特征时呈现了事物表象的多样性，丰富学生的感性经验，使他们认识概念外延集合的各种典型代表。
例如，在教学“梯形的认识”，一般教师都会给出一些“非标准”的梯形让学生识别，以帮助学生排除标准图形所带来的负面干扰，避免出现误将“上底长，下底短，腰反向（腰相等），无直角”等非本质属性当作梯形本质特征的片面认识。
那么，这一行之有效的教学方式如何在新课程改革背景下“与时俱进”呢？我认为可以尽可能地创造条件，变“教师演，学生看”为学生自己动手操作。仍以“梯形的认识”教学为例，我尝试了两种方式。
一是让学生把平行四边形沿直线剪成两个四边形，使它们都不是平行四边形（如图1）。
二是让学生用半透明的长方形与三角形纸片重叠出四边形（如图2）。
同样是观察变化非本质属性的变式图形，但观察对象不是教师提供的，而是学生自己动手构造的，两种方式都能使学生在生成性操作与观察活动中动态地认识发现梯形的共同特征，取得了较好的效果。这也说明变式直观的教学效果，在一定程度上取决于学生的主动性及独立性的发挥。
2．变化概念的本质属性
所谓本质属性，是指该类事物独有的、必然具有的，因而也是能与其他事物加以区分的属性。教学中适当地变化概念的本质属性，让学生通过辨析，从反例、错误中体会概念的本质属性，促进理解。
在实际教学中，上述两种概念变式也可以结合使用。例如“垂直”的概念辨析，图中是标准图形，是本质属性的改变，则是非本质属性的改变，它们从正反两面揭示了垂直概念的本质特征。让学生看图做出正确的判断，从而达到多角度理解概念，确切地把握概念本质特征的教学目标。
二、过程性变式
学生的数学学习过程是一个自主构建对数学知识理解的过程，他们带着自己原有的知识背景，活动背景和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，去建构对数学的理解。在小学数学教学实施过程性变式，旨在优化学生的学习过程，通过变式铺垫，建立学习对象与学习者已有知识内在、合理的联系，使学生逐步获取知识或解决问题。这也是数学数学课程改革理念在课堂教学中得到具体落实的体现。
1．意义建构的过程变式
意义建构的过程是新信息与长时记忆进行试验联系的过程，其中伴随着一个随时对建构结果进行检验的过程。为达成所学数学知识的有意义建构，教师就应关注学生的最近发展区，所谓最近发展区，指的是学习者独立问题的解决实际能力与在成人知道下或更有能力的伙伴合作下所达到的潜在发展水平之间的距离。教师在教学中实施意义建构的变式教学，就是强调教师通过适当的、动态的变式，引发、促进学生最近发展区的形成，最终实现潜在的发展水平。教学中，教师们常有的过程性变式教学策略“铺垫”就是形成数学知识意义建构的有效教学方式。
2．规律探究的过程变式
小学数学中的一些比较适合让学生进行探究学习的内容，比如关于物体面与体的很多计算公式，它们既具有相对的独立性，又有互相渗透，互相联系的层次性。
以梯形面积公式的推导为例，在此之前学生已经掌握了长方形（包括正方形）、平行四边形、三角形面积的计算公式，对图形的转换以及对转换思路“将面积计算公式未知的图形转换成面积计算公式已知的图形”也有了一定的认识。这些都是探究梯形面积公式时可利用的基础。
教学时先复习长方形、平行四边形、三角形的面积计算公式，并让学生叙述平行四边形，三角形的面积计算公式的推导过程。
接着提出探究目标：找出梯形的面积计算公式。
启发学生思考：
①你打算把梯形转化为什么面积公式已知的图形？
②怎么转化，是拼，还是割补，还是划分？
③你会计算转化后图形的面积吗？
④试一试，总结梯形面积计算公式。
在探究、交流的过程中，各种转化变式的出现是随机的，一节课内学生想到的变式种数也有较大的差异。我的对策是学生能得出几种就出示、交流几种，不求全。如果转化为平行四边形、长方形、三角形的三条基本思路和拼、割补、划分的三种基本方法有缺失，就启发感兴趣的学生课后继续探究。同样，学生采用不同的方法得到的不同算法，也不强求统一成梯形面积计算公式的标准形式。因为多样化的算法有利于开拓学生的思路，这也是实施过程性变式的目的之一。事实上学生最终都会认同梯形面积计算公式的标准形式：。
不同的学生数学学习的差异是客观存在的，规律探究的过程性变式关注的是学生的探究与体验，教师构建适当的变异空间，铺设适当的潜在距离，不同学生经历的过程、获得结果与感悟有所差异是自然的、正常的。
三、训练性变式
数学训练是数学教学不可缺少的环节，也是获取数学知识的有效手段。训练性变式包括训练题目的变式、解决方法的变式与训练实施的变式。数学的训练变式由来已久，很多教师都在自觉或不自觉设计、实施变式训练，但在以往的教学实践中多数教师最为关注的是解题方法的变式，追求解题方法的多样性。这里着重从习题的设计的视角讨论训练题的变式。
1．扩缩性变式
扩缩性变式就是依据数学知识之间内在的联系，在习题设计时采用改变条件或改变问题的方式，使数学问题的结构由简单到复杂（扩）或由复杂到简单（缩）地发生变化，以帮助学生“拾级而上”。“扩”反映了认知与训练逐步递进的发展、变化与深入，是一种“由薄到厚”的学习、训练过程；“缩”则体现了数学的“化归”思想．是一种“由厚到薄”的学习、训练过程。
例如．“解方程”的综合性练习可设计如下变式题组：
这是由简到繁的设计，意在凸显方程求解过程就是运用等式性质不断化简方程的过程，最终得到最简方程x＝2，从而帮助学生明确解方程的思路，掌握解方程的方法。实践表明，学生通过练习，确能有所感悟。
扩缩性变式在小学数学实际问题解决的教学与训练中有着比较广泛的应用，通常表现为把一个只需一步或两步计算的实际问题改变成需要两步、三步计算才能解决的实际问题，或者相反。这是问题解决复习课最常用的教学与训练方式之一，它能让学生看到实际问题发展变化的来龙去脉，有利于帮助学生形成“以简驭繁”的思路。
2．可逆性变式
可逆性变式是指数学题目中的条件与问题互相置换的变化。它要求教师在对学生进行正向思维训练的同时关注逆向思维的训练．从而有效地培养学生思维的变通性。可逆性变式也是实际问题解决的常用教学手段。例如，要求学生将求路程的题目改编成求时间或求速度的题目。实践表明，经常进行这种实际问题改编的口头练习，有助于学生掌握相关问题的结构，多侧面地掌握数量关系。
3．情境性变式
情境性变式主要用于实际问题解决的教学，通常是保留问题的数学模型，改变问题情境的内容。情境性变式不仅有利于学生“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心”，还有助于提高学生运用所学数学知识分析、解决实际问题的能力。
例如，以“鸡兔同笼”问题为原型，我们设计了一组情境性变式：
①拼装9辆三轮车和自行车，共用了22个车轮。三轮车和自行车各装了几辆?
②l8个同学同时在6张乒乓球桌上进行单打、双打比赛。有几个同学在单打?
通过练习．使学生透过不同的问题情境看到相同的数学实质，如果列成方程，这些方程具有相同的结构形式：⑴设三轮车装了x辆，依题意，得方程3x＋2(9－x)＝22；⑵设有x张球桌在单打，依题意，得方程2x＋4(6－x)＝18。
显然，这对发展学生的抽象概括能力、对培养学生初步的数学建模能力都是非常有益的。
4．开放性变式
开放性变式是指改变题目的条件或者问题，使答案或解题策略具有多样性。它能突破思维定势的束缚。促进发散性思维的生成，是培养学生数学思维灵活性的一种有效途径。开放性变式可以分为条件开放、结论开放、策略开放三种类型。
条件开放如“在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的甲乙两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5000米”。这里去掉了两人的运动方向，导致出现相向、背向、同向（小明在前或小刚在前）等多种情况。
结论开放如“把正方形划分成四个形状、大小都相同的图形，你能想到几种分法”。
策略开放最常见的就是所谓“一题多解”的训练。这里就不再举例了。
一般来说，开放性变式训练应当在一定的基础性练习之后。根据教与学的需要设计并酌情进行。恰到好处的条件开放、结论开放、策略开放的变式训练，能够激发学生参与数学练习的兴趣，在达成知识技能学习目标的同时，也有利于学生发散思维、求异思维、直觉思维的培养。
此外，上面分别讨论的几种变式训练方式也可以综合使用，即形成“综合性变式”。例如，上面扩缩性变式给出的方程，其方程的解都是x＝2，反过来，要求学生“写出解是x＝2的方程”。这就是比较典型的可逆性变式与开放性变式相结合的变式训练。
变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。
总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。
一、概念性变式
数学概念在教学中的变式主要包括两类：一类是改变概念的外延的呈现，即概念外在形式在变化，属于概念外延集合的变式；另一类是改变数学概念的内涵，即呈现于原概念有某些相同非本质属性的反例，它不属于原概念的外延集合。概念性变式是小学数学概念教学中的重要手段，其作用是帮助学生“去伪存真”，获取对概念的多角度理解与较全面的认识。
1．变化概念的非本质属性
所谓概念的非本质属性，是指对该概念不具有决定意义的属性。变化概念的非本质属性是在小学数学概念教学中采用最多的概念性变式。它的心理学依据是，概念变式在转换事物非本质特征时呈现了事物表象的多样性，丰富学生的感性经验，使他们认识概念外延集合的各种典型代表。
例如，在教学“梯形的认识”，一般教师都会给出一些“非标准”的梯形让学生识别，以帮助学生排除标准图形所带来的负面干扰，避免出现误将“上底长，下底短，腰反向（腰相等），无直角”等非本质属性当作梯形本质特征的片面认识。
那么，这一行之有效的教学方式如何在新课程改革背景下“与时俱进”呢？我认为可以尽可能地创造条件，变“教师演，学生看”为学生自己动手操作。仍以“梯形的认识”教学为例，我尝试了两种方式。
一是让学生把平行四边形沿直线剪成两个四边形，使它们都不是平行四边形（如图1）。
二是让学生用半透明的长方形与三角形纸片重叠出四边形（如图2）。
同样是观察变化非本质属性的变式图形，但观察对象不是教师提供的，而是学生自己动手构造的，两种方式都能使学生在生成性操作与观察活动中动态地认识发现梯形的共同特征，取得了较好的效果。这也说明变式直观的教学效果，在一定程度上取决于学生的主动性及独立性的发挥。
2．变化概念的本质属性
所谓本质属性，是指该类事物独有的、必然具有的，因而也是能与其他事物加以区分的属性。教学中适当地变化概念的本质属性，让学生通过辨析，从反例、错误中体会概念的本质属性，促进理解。
在实际教学中，上述两种概念变式也可以结合使用。例如“垂直”的概念辨析，图中是标准图形，是本质属性的改变，则是非本质属性的改变，它们从正反两面揭示了垂直概念的本质特征。让学生看图做出正确的判断，从而达到多角度理解概念，确切地把握概念本质特征的教学目标。
二、过程性变式
学生的数学学习过程是一个自主构建对数学知识理解的过程，他们带着自己原有的知识背景，活动背景和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，去建构对数学的理解。在小学数学教学实施过程性变式，旨在优化学生的学习过程，通过变式铺垫，建立学习对象与学习者已有知识内在、合理的联系，使学生逐步获取知识或解决问题。这也是数学数学课程改革理念在课堂教学中得到具体落实的体现。
1．意义建构的过程变式
意义建构的过程是新信息与长时记忆进行试验联系的过程，其中伴随着一个随时对建构结果进行检验的过程。为达成所学数学知识的有意义建构，教师就应关注学生的最近发展区，所谓最近发展区，指的是学习者独立问题的解决实际能力与在成人知道下或更有能力的伙伴合作下所达到的潜在发展水平之间的距离。教师在教学中实施意义建构的变式教学，就是强调教师通过适当的、动态的变式，引发、促进学生最近发展区的形成，最终实现潜在的发展水平。教学中，教师们常有的过程性变式教学策略“铺垫”就是形成数学知识意义建构的有效教学方式。
2．规律探究的过程变式
小学数学中的一些比较适合让学生进行探究学习的内容，比如关于物体面与体的很多计算公式，它们既具有相对的独立性，又有互相渗透，互相联系的层次性。
以梯形面积公式的推导为例，在此之前学生已经掌握了长方形（包括正方形）、平行四边形、三角形面积的计算公式，对图形的转换以及对转换思路“将面积计算公式未知的图形转换成面积计算公式已知的图形”也有了一定的认识。这些都是探究梯形面积公式时可利用的基础。
教学时先复习长方形、平行四边形、三角形的面积计算公式，并让学生叙述平行四边形，三角形的面积计算公式的推导过程。
接着提出探究目标：找出梯形的面积计算公式。
启发学生思考：
①你打算把梯形转化为什么面积公式已知的图形？
②怎么转化，是拼，还是割补，还是划分？
③你会计算转化后图形的面积吗？
④试一试，总结梯形面积计算公式。
在探究、交流的过程中，各种转化变式的出现是随机的，一节课内学生想到的变式种数也有较大的差异。我的对策是学生能得出几种就出示、交流几种，不求全。如果转化为平行四边形、长方形、三角形的三条基本思路和拼、割补、划分的三种基本方法有缺失，就启发感兴趣的学生课后继续探究。同样，学生采用不同的方法得到的不同算法，也不强求统一成梯形面积计算公式的标准形式。因为多样化的算法有利于开拓学生的思路，这也是实施过程性变式的目的之一。事实上学生最终都会认同梯形面积计算公式的标准形式：。
不同的学生数学学习的差异是客观存在的，规律探究的过程性变式关注的是学生的探究与体验，教师构建适当的变异空间，铺设适当的潜在距离，不同学生经历的过程、获得结果与感悟有所差异是自然的、正常的。
三、训练性变式
数学训练是数学教学不可缺少的环节，也是获取数学知识的有效手段。训练性变式包括训练题目的变式、解决方法的变式与训练实施的变式。数学的训练变式由来已久，很多教师都在自觉或不自觉设计、实施变式训练，但在以往的教学实践中多数教师最为关注的是解题方法的变式，追求解题方法的多样性。这里着重从习题的设计的视角讨论训练题的变式。
1．扩缩性变式
扩缩性变式就是依据数学知识之间内在的联系，在习题设计时采用改变条件或改变问题的方式，使数学问题的结构由简单到复杂（扩）或由复杂到简单（缩）地发生变化，以帮助学生“拾级而上”。“扩”反映了认知与训练逐步递进的发展、变化与深入，是一种“由薄到厚”的学习、训练过程；“缩”则体现了数学的“化归”思想．是一种“由厚到薄”的学习、训练过程。
例如．“解方程”的综合性练习可设计如下变式题组：
这是由简到繁的设计，意在凸显方程求解过程就是运用等式性质不断化简方程的过程，最终得到最简方程x＝2，从而帮助学生明确解方程的思路，掌握解方程的方法。实践表明，学生通过练习，确能有所感悟。
扩缩性变式在小学数学实际问题解决的教学与训练中有着比较广泛的应用，通常表现为把一个只需一步或两步计算的实际问题改变成需要两步、三步计算才能解决的实际问题，或者相反。这是问题解决复习课最常用的教学与训练方式之一，它能让学生看到实际问题发展变化的来龙去脉，有利于帮助学生形成“以简驭繁”的思路。
2．可逆性变式
可逆性变式是指数学题目中的条件与问题互相置换的变化。它要求教师在对学生进行正向思维训练的同时关注逆向思维的训练．从而有效地培养学生思维的变通性。可逆性变式也是实际问题解决的常用教学手段。例如，要求学生将求路程的题目改编成求时间或求速度的题目。实践表明，经常进行这种实际问题改编的口头练习，有助于学生掌握相关问题的结构，多侧面地掌握数量关系。
3．情境性变式
情境性变式主要用于实际问题解决的教学，通常是保留问题的数学模型，改变问题情境的内容。情境性变式不仅有利于学生“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心”，还有助于提高学生运用所学数学知识分析、解决实际问题的能力。
例如，以“鸡兔同笼”问题为原型，我们设计了一组情境性变式：
①拼装9辆三轮车和自行车，共用了22个车轮。三轮车和自行车各装了几辆?
②l8个同学同时在6张乒乓球桌上进行单打、双打比赛。有几个同学在单打?
通过练习．使学生透过不同的问题情境看到相同的数学实质，如果列成方程，这些方程具有相同的结构形式：⑴设三轮车装了x辆，依题意，得方程3x＋2(9－x)＝22；⑵设有x张球桌在单打，依题意，得方程2x＋4(6－x)＝18。
显然，这对发展学生的抽象概括能力、对培养学生初步的数学建模能力都是非常有益的。
4．开放性变式
开放性变式是指改变题目的条件或者问题，使答案或解题策略具有多样性。它能突破思维定势的束缚。促进发散性思维的生成，是培养学生数学思维灵活性的一种有效途径。开放性变式可以分为条件开放、结论开放、策略开放三种类型。
条件开放如“在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的甲乙两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5000米”。这里去掉了两人的运动方向，导致出现相向、背向、同向（小明在前或小刚在前）等多种情况。
结论开放如“把正方形划分成四个形状、大小都相同的图形，你能想到几种分法”。
策略开放最常见的就是所谓“一题多解”的训练。这里就不再举例了。
一般来说，开放性变式训练应当在一定的基础性练习之后。根据教与学的需要设计并酌情进行。恰到好处的条件开放、结论开放、策略开放的变式训练，能够激发学生参与数学练习的兴趣，在达成知识技能学习目标的同时，也有利于学生发散思维、求异思维、直觉思维的培养。
此外，上面分别讨论的几种变式训练方式也可以综合使用，即形成“综合性变式”。例如，上面扩缩性变式给出的方程，其方程的解都是x＝2，反过来，要求学生“写出解是x＝2的方程”。这就是比较典型的可逆性变式与开放性变式相结合的变式训练。
变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。
总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。
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