Question

[图] 最小生成树-Prime算法和Kruskal算法

Answer 1

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

4 .输出：使用集合 V _new 和 E _new 来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v ² )
邻接表:O(e * log ₂ v)

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有 Prime 算法和 Boruvka 算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和 Boruvka 算法不同的地方是，Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也有效。

图例描述：

对图的顶点数 n 做归纳，证明 Kruskal 算法对任意 n 阶图适用。

归纳基础：

n = 1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设 Kruskal 算法对 n ≤ k 阶图适用，那么，在 k + 1 阶图 G 中，我们把最短边的两个端点 a 和 b 做一个合并操作，即把 u 与 v 合为一个点 v'，把原来接在 u 和 v 的边都接到 v' 上去，这样就能够得到一个 k阶图 G'(u ,v 的合并是 k + 1 少一条边)，G' 最小生成树 T' 可以用Kruskal 算法得到。

我们证明 T' + {<u,v>} 是 G 的最小生成树。

用反证法，如果 T' + {<u,v>} 不是最小生成树，最小生成树是 T，即W(T) < W(T' + {<u,v>})。显然 T 应该包含 <u,v>，否则，可以用<u,v> 加入到 T 中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T - {<u,v>}，是 G' 的生成树。所以 W(T-{<u,v>}) <= W(T')，也就是 W(T) <= W(T') + W(<u,v>) = W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T' + {<u,v>}是 G 的最小生成树，Kruskal 算法对 k+1 阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal 算法得证。

e * log ₂ e (e为图中的边数)