Question

已知2的a次方等于5的b次方等于10的c次方证明ab等于ac十bc

Answer 1

设2^a=5^b=10^C=m，alg2=blg5=clg10=lgm，得ac十bc=(a十b)c=(lgm/lg2十lgm/lg5)lgm/lg10=(lgm)^2/(lg2*|g5)，ab=lgm/lg2*(lgm/lg5)=(lgm)^2/(lg2*lg5)，所以ab=ac十bc

Answer 2

2^a＝5^b＝10^c;
等式分别取自然对数得：aln2=bln5＝cln10;
cln10＝c（ln5+ln2）;
c＝aln2/（ln5+ln2）=bln5（ln5+ln2）;
a=（ln5+ln2）c/ln2,
b=（ln5+ln2）c/ln5;
ac+bc=c（a+b）=(c^2)（ln5+ln2）（1/ln2+1/ln5）,
ab=[c（ln5+ln2）/ln2][c（ln5+ln2）/ln5]
=（c^2）（ln5+ln2）（1/ln5+1/ln2）;
所以两者相等，得证。

追答

2^a＝5^b＝10^c;
等式分别取自然对数得：aln2=bln5＝cln10;
cln10＝c（ln5+ln2）;
c＝aln2/（ln5+ln2）=bln5（ln5+ln2）;
a=（ln5+ln2）c/ln2,
b=（ln5+ln2）c/ln5;
ac+bc=c（a+b）=(c^2)（ln5+ln2）（1/ln2+1/ln5）,
ab=[c（ln5+ln2）/ln2+c（ln5+ln2）/ln5]
=（c^2）（ln5+ln2）（1/ln5+1/ln2）;
所以两者相等，得证。