Question

一道高数极限题，第五题

Answer 1

答案为 A
因为 Σ(k/n)² = n(n+1)(2n+1)/6n²
因此结果 lim n(n+1)(2n+1)/6n³ =1/3

追问

第一步是为什么啊，能详细些么

追答

自然数平方和公式推导：
首先有两个数的和的立方展开式

因为(a+b)³=a³+3*(a²)*b+3*a*(b²)+b³
所以：(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1

2³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+1

3³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+1

4³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1

......

(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1

等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：

(n+1)³=1³+3*(1²+2²+...+n²)+3*(1+2+...+n)+n

令Sn=1²+2²+...+n²，则

(n+1)³=1+3Sn+3n(n+1)/2+n

化简后易得Sn=n(n+1)(2n+1)/6

即：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

这应该是数列k^2求和再除n^3,答案是1/3