Question

组合数的计算~ C(3,3)+C(3,4)+C(3,5)+...C(3,n+2)等于多少~

Answer 1

等于C(4,n+3)
看这样一个问题：
从a(1),a(2),a(3),...,a(n+3)这n+3个数中取4个,共有多少种方法?
从组合数的定义可以知道方法数为C(4,n+3).
从另一个角度考虑：考察取出的这四个数中号码最小的.
如果取出的最小号码的数为a(1),那么相当于从后面的n+2个数中取3个,
有C(3,n+2)种方法；
如果取出的最小号码的数为a(2),相当于从后面的n+1个数中取3个,
有C(3,n+1)种方法；
……
如果取出的最小号码为a(n),相当于从后面的3个数中取3个,
有C(3,3)种方法.
综上,全部方法数为：C(3,n+2)+C(3,n+1)+...+C(3,3)
以上两个方法是从两个角度解决了同一个问题,因此方法数应该相等,
即：C(3,n+2)+C(3,n+1)+...+C(3,3)=C(4,n+3)