非齐次线性方程组Ax=b的解有哪些?
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非齐次线性方程组Ax=b的求解方法:
1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵;
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系;
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0);
4、按解的结构 ξ(特解)+k1a1+k2a2+…+krar(基础解系) 写出通解。
例:
扩展资料:
非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即rank(A)=rank(A, b)(否则为无解)。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n(rank(A)表示A的秩)。
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)。
参考资料来源:百度百科—非齐次线性方程组
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求解 n 元非齐次线性方程组 Ax=b :
将增广矩阵化为行最简型矩阵, 求出增广矩阵的秩 r(A,b) , 系数矩阵的秩 r(A),
分三种情况讨论:
r(A,b) ≠ r(A) 时, 非齐次线性方程组 Ax=b 无解。
r(A,b) = r(A) = n 时, 非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 。
r(A,b) = r(A) < n 时, 有无穷多组解, 此时, 先求出 Ax=b 的一组特解,
再求出 Ax = 0 的通解, 其和即为 Ax = b 的通解。
将增广矩阵化为行最简型矩阵, 求出增广矩阵的秩 r(A,b) , 系数矩阵的秩 r(A),
分三种情况讨论:
r(A,b) ≠ r(A) 时, 非齐次线性方程组 Ax=b 无解。
r(A,b) = r(A) = n 时, 非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 。
r(A,b) = r(A) < n 时, 有无穷多组解, 此时, 先求出 Ax=b 的一组特解,
再求出 Ax = 0 的通解, 其和即为 Ax = b 的通解。
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