Question

怎么证明矩阵的伴随矩阵是正定矩阵？

Answer 1

这个简单,正定阵的充要条件是特征值全是正数,
我们有一个定理是可逆矩阵A的特征值是a,则A*的特征值一定是是|A|/a.这说明A*的正定性与A正定性有一定关系
因此若能证明A是正定的 则A*一定是正定的,
若A是负定的(特征值全是负数),且|A|>0,则伴随矩阵也是正定的,
定理的证明可以这样,由伴随矩阵定义A*A=|A|E.若Ax=ax,则A|x=|A|Ex=A*Ax=aA*x,因此A*x=|A|/ax,2,由伴随矩阵定义A*A=|A|E.若Ax=ax,则A|x=|A|Ex=A*Ax=aA*x,因此A*x=|A|/ax
因此若A是正定的 则A*一定是正定的,,2,