Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2+m的顶点为C．？

Answer 1

解题思路：（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点C的坐标；（2）①联立直线与抛物线求出交点A、B的坐标，然后求出AB的长，再根据AB∥OC求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；②根据A、B的坐标求出AM、BM的长，再求出点M的坐标，从而得到⊙M的半径为2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，然后利用两边对应成比例夹角相等两三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出QN=22QB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边判断出Q、N、B′三点共线时QB′+22QB最小，然后噶呢句勾股定理列式计算即可得解．
（1）∵y=x2-2mx+m2+m=（x-m）2+m，
∴顶点坐标为C（m，m）．

（2）①∵y=x+2与抛物线y=x2-2mx+m2+m交于A、B两点，
∴联立

y＝x2−2mx+m2+m
y＝x+2，
解得

x1＝m−1
y1＝m+1，

x2＝m+2
y2＝m+4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB=
(m−1−m−2)2+(m+1−m−4)2=3
2，
∵直线OC的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=x+2，
∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h=2×

2
2=
2，
∴S△APB=[1/2]AB•h=[1/2]×3
2×
2=3；

②∵A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM=1×
2=
2，BM=2×
2=2
2，
由M点坐标（m，m+2），C点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为 （m+2）-m=2
取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，
则MN=[1/2]BM=[1/2]×2
2=
2，
∵[MN/QM]=[QM/BM]=

2
2，∠QMN=∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴[QN/QB]=[MN/QM]=

2
2，
∴QN=

2
2QB，
由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+

2
2QB最小，
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴直线AB与对称轴夹角为45°，
∵点B、B′关于对称轴对称，
∴∠BMB′=90°，
由勾股定理得，QB′+

2
2QB最小值=
B′M2+MN2=
(2
2)2+
22=
10．
故答案为：
10．
,1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2-2mx+m 2+m的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）直线y=x+2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧．
①若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；
②抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'．以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得 QB′+ 2 2 QB 的值最小，则这个最小值为 10 10 ．