Question

如何求数列的前n项和

Answer 1

数列是正项数列，数列前n项和Sn>0
S(n+1)-Sn=a(n+1)>0
S(n+1)>Sn，数列前n项和随n增大单调递增。
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1)
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]-[√Sn+√S(n-1)]=0
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)-1]=0
Sn>0 √Sn+√S(n-1)>0，因此只有
√Sn-√S(n-1)=1，为定值
√S1=√a1=√1=1，数列{√Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列
√Sn=1+1×(n-1)=n
Sn=n²
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，a1=2×1-1=1，与已知相符，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2n-1