Question

验证拉格朗日中值定理对函数y=x^3在区间[0,1]上的正确性,并求出∑为何值

Answer 1

y在[0,1]连续，在(0,1)可导
由拉格朗日中值定理
存在w=√(1/3)∈(0,1)
使得y'(w)=（y(1)-y(0)）/（1-0）

Answer 2

拉格朗日中定理：
如果函数满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
则存在点ξ∈(a，b)，使等式f'(ξ)=f(b)-f(a)/b-a成立。
证明：
令f(x)=x^3,由题知f(x)连续，代入a=0,b=1
f(a)=0 f(b)=1
f'(x)=3x^2，f在(0,1)内可导
f '(ξ)=3ξ^2=[f(a)-f(b)]/(a-b)=1
由f '(ξ)=1并代入a,b得，ξ=√3/3∈(0，1)
因为ξ∈(0，1)，所以拉格朗日中定理对函数成立
（∑用ξ代替了，使用习惯）
证明完成，并得出ξ=√3/3