Question

近世代数证明题 证明：Q[i]={a+bi|a,b∈Q} 对加法与乘法构成为域

Answer 1

直接验证x-y,xy,x^-1都属于Q[i]即可。

事实上，由于i是Q上的代数元（极小多项式为f(x)=x^2+1∈Q[x])，所以Q[i]是Q的单代数扩域。

设x=a+bi,y=c+di （a,,b,c,d是整数），则x+y=a+c+(b+d)i属于Z[i]。

0属于Z[i]，且x+0=0+x=x。

对任意x=a+bi属于Z[i]，有-a-bi属于Z[i]，且x+(-a-bi)=0。

Z[i]是复数域的子集，由复数域上加法的结合律以及上述的第一点（z[i]对加法的封闭性）得到z[i]上加法啊结合律。

乘法

是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积，“x”是乘号。从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。整数（包括负数），有理数（分数）和实数的乘法由这个基本定义的系统泛化来定义。

乘法也可以被视为计算排列在矩形（整数）中的对象或查找其边长度给定的矩形的区域。 矩形的区域不取决于首先测量哪一侧，这说明了交换属性。 两种测量的产物是一种新型的测量，例如，将矩形的两边的长度相乘给出其面积，这是尺寸分析的主题。

Answer 2

1非空
2加法封闭
3数的加法适合结合律交换律
4存在零元
5存在负元
所以是加群
1乘法封闭
2数的乘法适合结合律交换律分配律
所以是交换环
1至少存在一个非零元
2存在单位元
3任意非零元存在逆元
所以是除环
根据定义，交换除环是域

Answer 3

直接验证x-y,xy,x^-1都属于Q[i]即可
事实上，由于i是Q上的代数元（极小多项式为f(x)=x^2+1∈Q[x])，所以Q[i]是Q的单代数扩域

Answer 4

没什么好解释的，直接按定义验证