Question

已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+4，bn＝1+anan．

Answer 1

（1）∵S 4=2S 2+4，∴4a1+
3×4
2d＝2(2a1+d)+4，解得d=1，
（2）∵a1＝−
5
2，∴数列a n的通项公式为 an＝a1+(n−1)＝n−
7
2，∴bn＝1+
1
an＝1+
1
n−
7
2，
∵函数f(x)＝1+
1
x−
7
2在(−∞，
7
2)和(
7
2，+∞)上分别是单调减函数，
∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n≥4时，1＜b n≤b 4，∴数列{b n}中的最大项是b 4=3，最小项是b 3=-1．
（3）由bn＝1+
1
an 得 bn＝1+
1
n+a1−1，
又函数f(x)＝1+
1
x+a1−1在（-∞，1-a 1）和（1-a 1，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a 1 时，y＜1；x＞1-a 1时，y＞1．
∵对任意的n∈N *，都有b n≤b 8，∴7＜1-a 1＜8，∴-7＜a 1＜-6，∴a 1的取值范围是（-7，-6）．