Question

设f(x)在[0，1]上连续，则如图示。怎么证明？

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Answer 1

　　证明：设x=π-t，则
　　∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt，
　　∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx。
　　而∫(0,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sinx)dx+∫(π/2,π)f(sinx)dx，对后一积分设x=π-y，则∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(siny)dy。
　　∴∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx，
　　∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinx)dx。供参考。