Question

n元非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件

Answer 1

系数矩阵A的列向量线性无关，且常数项向量b可由A的列向量组来线性表示。

当系数矩阵的秩r(A)和增广矩阵的秩r(~A)相等的时候，n元非齐次线性方程组AX=b是有解的，两者不等的时候方程组则无解。

注意到在消元和回代的过程中均需使用矩阵A的主对角线元素(称为主元素)作除数，因此如果原方程组的某个主对角线元素等于0，就会导致求解失败。而且从数值计算的特点可知，即使某个主元素并未等于0，而只是其绝对值很小，也会导致较大的计算误差。

扩展资料：

n元非齐次线性方程组注意事项：

非齐次方程的求解步骤是首先对增广矩阵进行初等变换化成阶梯型矩阵，包括齐次的也是一样，然后在系数矩阵中获得一组基础解析，求非齐次方程的一个特解，为了简便计算需要让所有的自由变量的取值等于0，剩下的按照解的结构写出通解。

线性非齐次线性方程2x1-2x2+x3-x4+x5=1，x1+2x2-x3+x4-2x5=1，4x1-10x2+5x3-5x4+7x5=1，2x1-14x2+7x3-7x4+11x5=-1。首先需要对非齐次进行化简可以化简成E也可以是阶梯型矩阵，化简成E其实是减少计算量的。

对于自由变量x3，x4，x5进行赋值，分别为（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1)得到基础解析为（01，2，0，0）,(0，-1，0，2，0),(2，5，0，0，1)那么通解就是基础解析的组合。

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组