Question

如图所示,四边形abcd中,ac,bd是对角线,ab=ac，角ABD为6o度，过D作ED垂直AD，

如图所示,四边形abcd中,ac,bd是对角线,ab=ac，角ABD为6o度，过D作ED垂直AD，交Ac于点E，恰有DE平分角BDC。试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明！

Answer 1

CD+BD=AC
证明如下:
延长ED至F,使ED=DF,连接AF并延长至G,使G落在BD的延长线上,
由∠ADE=∠ADF=90°,AD=AD,ED=DF,根据边角边,有△ADE全等于△ADF,得到∠EAD=∠FAD,
又由∠BDE=∠CDE(角平分线),∠BDE=∠GDF(对顶角),得到∠EDC=∠FDG,所以∠ADC=∠ADG
根据角边角,△ADC全等于△ADG,所以CD=DG,AC=AG,
又AC=AB,所以AB=AG,∠AGB=∠ABG=60度,三角形ABG为正三角形
所以AB=BG=BD+DG=BD+CD,再根据AB=AC得到AC=CD+BD
证毕