Question

如何求二面角 综合法求二面角

Answer 1

综合法求二面角

一、基本知识

1．二面角图形的识别与思考途径：①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③观察是否有直线⊥半平面；④观察是否有平面⊥半平面；⑤观察是否有直线⊥棱． 2．立体几何中，几种常用的平面图形的计算：

① 4：2：1（）矩形中的垂直；②Rt Δ中，斜边上的高的计算；③ RtΔ中，直角边上一点向斜边引垂线，垂线段的计算．

3．若∠POA ＝∠POB ，则PO 在α内的射影是∠AOB 的平分线；

二、求直线与平面所成的角、求二面角的三种基本模式：

1．模式一：夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面．

题1（09、湖北、理）如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD ＝√2a, 点E 是SD 上一点，且DE ＝λa(0＜λ≤2) ．（1）求证：对任意的λ∈（0，2],都有AC ⊥BE ；（2）设二面角C －AE －D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为Φ．若tan θ·tan Φ＝1，求λ的值．

解：（1）AC ⊥BD, AC⊥SD ，所以AC ⊥平面SBD ，又BE 在平面SBD 内，∴AC ⊥BE （图1）； 【二面角的识图：①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③找图形特征（二面角的三种模式特征）】 【斜线与平面所成的角的识图：①找斜线；②找垂线；③找射影】 （2）图2：【夹在二面角C －AE －D 的直线CD ⊥半平面ADE 】

作DH ⊥AE 于H ，由三垂线定理知：CH ⊥AE ，所以∠CHD ＝θ，在Rt ΔADE 中，DH ＝

DE ·DA AE

＝

λa 2a λa +2a

2

2

2

＝

2·λa

，tan θ＝CD ：DH ＝2a ：

λ+2

2

2·λa

＝

λ+2λ

2

．

λa

2a

λ+2

2

又∠EBD ＝Φ，则tan Φ＝DE ：BD ＝＝

λ

2

．由tan θ·tan

Φ＝1，有

λ+2λ

2

·

λ

2

＝1．

解得：λ＝√2．

评注：①本题把“平面的斜线与平面所成的角”、“二面

角”融合为一道题，结合08、湖北考题，可以估测湖北考

题方向及武汉市2、4月模拟考题方向；②解答这类问题，首先要认识图形，掌握“平面的斜线与平面所成的角”、“二面角”的识图方法；③本题的图形模式是最简单的，“平面的斜线与平面所成的角”中，有一条直线⊥平面；④“二面角” 的图形中，夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面．

2．模式二：夹在二面角内的一条直线垂直于棱．

题2（08、全国Ⅰ）四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝√2，AB ＝AC ．（1）求证：AD ⊥CE ；（2）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C －AD －E 的大小．

（1） 证明：作AH ⊥BC 于H ，

则AH ⊥底面BCDE ．所以：DH 是AD 在底面BCDE 上的射影．易证：CE ⊥DH ，由三垂线定理：AD ⊥CE ． （2）【①所求二面角C －AD －E 的棱是AD ；②两个半平面分别是CAD 、EAD ；③图形特征是：夹在二面角C －AD －E 内的一条直线CE ⊥棱AD 】

解 作CF ⊥AD 于F ，∵AD ⊥CE ，∴AD ⊥面EFC ．所以：EF ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠EFC 是二面角C －AD －E 的平面角【找、作、证→算】．

①AH ＝DH ＝√3，得AD ＝√6，得AE ＝√6； ②由此△ACD 为Rt △，∴CF ·AD ＝AC ·DC ； ③S ADE ＝

12

12

DE ·A2＝AD ·EF ．从而求出EF 、CF ．

④在△EFC 中，用余弦定理，求∠EFC ．

评注：①夹在二面角E －AD －C 内的一条直线CE 垂直于棱，是作二面角的平面角的依托；②空间图形的分解，是基本功；

3．模式三：夹在二面角内的一个平面⊥其中的一个半平面． 题3（08、湖南、理17) ：四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠BCD ＝600，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2．（1

）

求证：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成锐二面角的大小． （1）证明：【证明α经过β的一条垂线】 B E ⊥CD ，CD ∥AB ，所以：BE ⊥AB ．又BE ⊥PA ， 所以：BE ⊥面PAB ．又BE 在平面PBE 内，∴ 平面PBE ⊥平面PAB ；

（2）解 【无棱二面角PAD －PBE 】 设BE 与AD 交于F ，

由（1）知：面PA B ⊥二面角A －PF －B 的一个半平面PBF ．

作A G ⊥PB 于G ，则PF ⊥AG ．

作GH ⊥PF 于H ，则PF ⊥面AHG ．∴∠AHG 是二面角A －PF －B 的平面角．在R t △AGH 中，AH ＝2，AG ＝

25

5

，所

以sin ∠AHG ＝AG ：AH ＝．

评注：①无棱二面角的棱的作法，有两条依据；②凭借“夹在二面角A －PF －B 内的一个平面PAB ⊥其中的一个半平面PBF ”，作出二面角的平面角；③如果在图形中，出现“三条直线两两垂直”，可考虑向量法．

高考试题巩固练习

1．(08、陕西、文19) ：三棱锥被平行于底面ABC 的平面截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝900，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝√3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．（1

）求

证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1；

（1）证明：BC ⊥AD ，BC ⊥A 1A ，所以：

BC ⊥面A 1AD ．又∵BC 在平面BCC 1B 1内，所以： 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1；

（2）求二面角A －CC 1－B 的大小。

【①找二面角A －CC 1－B 的棱；②找半平面；③找图形特点】 【存在一个半平面ABC 与二面角的半平面A －CC 1－A 1垂直】 解：过A 作AE ⊥CC 1于E ，连BE 。

∵BA ⊥面CC 1A 1A ，CC 1在平面CC 1A 1A 内，∴BA ⊥C 1C 。

又CC 1⊥AE ，∴CC 1⊥BE ⇒∠AEB 是二面角A －CC 1－B 的平面角。 在Rt ΔABE 中，tan ∠

AEB=

A B A E

==3

所以：二面角A －CC 1－B 的平面角为

3

.

2．（09、全国2）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A B ⊥AC ，DE 分别为AA 1、B 1C 的中点，D E ⊥平面BCC 1．（1）求证：AB ＝AC ；（2）设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．

解：（1）连结BE ，∵ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠B 1BC ＝90． ∵E 为B 1C 的中点，∴BE ＝CE(矩形的对角线相等) ．

又D E ⊥平面BCC 1，∴BD ＝CD （射影相等的两条斜线段相等）． 而D A ⊥平面ABC ，

∴AB ＝AC （相等的斜线段的射影相等）．

（2）求B 1C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点B 1到面BCD 的距离即可．

作A G ⊥BD 于G ，连GC ，则G C ⊥BD ，∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．∠AGC ＝600．不妨设AC ＝23，则AG ＝2，GC ＝4．在R t △ABD 中，由AD ·AB ＝BD ·AG ，易得AD ＝√6．

设点B 1到面BDC 的距离为h ，B 1C 与平面BCD 所成的角为α． 由V D -B 1BC =V B 1-BDC ，∴

13

13

S ∆B 1BC ·DE ＝S ∆BDC ·h ，可求得

h

=BC ＝2√6，∴B 1C ＝4√3．

所以：sin α＝h ：B 1C

＝4√3＝1/2．α＝30．

3． （09、重庆）如图，在四棱锥S -A B C D 中，A D ∥B C 且A D ⊥C D ；平面C S D ⊥平面A B C D ，CS ⊥DS , CS =2AD =2；E 为B S

的中点，

C E =

AS =

（1）点A 到平面B C S 的距离；

解：（1）【A 点到平面B C S 的距离=D点到平面B C S 的距离=DS】 在R t ∆

A D S 中，DS =

=

=∴点A 到平面B C S 的距离

。【（2）二面角E -C D -A 的大小】

（2）过E 作EG ⊥CD , 交C D 于点G ，又过G 点作G H ⊥C D , 交AB 于H ，故∠

为

二面角E -C D -A 的平面角，记为θ，过E 点作EF//BC,交C S 于点F, 连结GF, 因平面

π

ABCD ⊥平面CSD , GH ⊥CD , 易知GH ⊥GF , 故θ=-∠E G F .

2

由于E 为BS 边中点⇒F 为CS 的中点⇒E F =1。

CD =

=

=

E F F G

⇒G F =

，

π

3

在R t ∆

F E G 中，tan E G F =的大小为θ=

π

6

=可得∠E G F =，故所求二面角

。

4（09、湖北、文）四棱锥P －ABC 的底面是正方形，P D ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AE C ⊥平面PDB ；（2）当PD ＝√2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵P D ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AE C ⊥平面PDB ；

（2）设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角。

∵O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，OE ＝

12

PD 。

1又∵P D ⊥面ABCD ， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，OE ＝PD ＝

2AB

＝AO ， ∴∠AOE ＝450

。

即AE 与平面PDB 所成的角的大小为450

．

5．（09、安徽）如图，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2，

BD=

，AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。

（1）求二面角B －A F －D 的大小； 解：（I ）连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足．连接BG 、DG ．由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF ．

2

2

于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角． 由F C ⊥A C ， FC =AC =2，得∠F A C =

π

4

，O G =

2

。

由O B ⊥O G , O B =O D =

2

，得∠B G D =2∠B G O =

π

2

。

【（2）求四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 公共部分的体积. 】

解：连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H －ABCD ． 过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足． 因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而P ∈AC ，HP ⊥AC ． 由

HP CF ==AP AC

，

H P A E HP CF

P C A C H P

，两式相加：

=AP AC

+P C A C

=1⇒

+

A E 23

得H P =．

12

A C ⋅B D =

又因为S 菱形A B C D =

故四棱锥H-ABCD

的体积V =

13

S 菱形ABC D ⋅H P =

9

6．在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1；

解：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， //

所以CD=A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A1D ，

又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A1D ， 所以CF 1//EE1，又因为EE 1⊄平面FCC 1，C F 1⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1. 【（2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值】

（2）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形。 取CF 的中点O, 则OB ⊥CF, 又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD, 所以CC 1⊥BO, 所以OB ⊥平面CC 1F, 过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F, 垂足为P , 连接BP , 则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中

, O B =

O P C C 1

O F C 1F

在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F ，∵

=

∴O P =

2=

2

。

在Rt △OPF 中

, BP ==

=

2

, cos ∠O PB =

O P BP

=

=, 所以

72

二面角B-FC 1-C

7

。