Question

设随机变量x服从参数为入的泊松分布,则P(X=m)=？

Answer 1

泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在一段时间或区间内，某一事件发生的次数。其概率质量函数为：
$$P(X=m)=\frac{\lambda^me^{-\lambda}}{m!}$$
其中，$\lambda$为事件发生的平均次数，m为实际发生的次数。该分布的特点是：平均值等于方差，即$E(X)=Var(X)=\lambda$。
举个例子，假设某商店每小时平均有5名顾客进店，那么在某一小时内，有0、1、2、3、4、5……名顾客进店的概率分别为：
$$P(X=0)=\frac{5^0e^{-5}}{0!}=0.0067$$
$$P(X=1)=\frac{5^1e^{-5}}{1!}=0.0337$$
$$P(X=2)=\frac{5^2e^{-5}}{2!}=0.0842$$
$$P(X=3)=\frac{5^3e^{-5}}{3!}=0.1404$$
$$P(X=4)=\frac{5^4e^{-5}}{4!}=0.1755$$
$$P(X=5)=\frac{5^5e^{-5}}{5!}=0.1755$$
……以此类推。
因为泊松分布是一个概率分布，所以所有可能的概率之和应该等于1，即：
$$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\lambda^me^{-\lambda}}{m!}=1$$
这个式子其实就是泊松分布的概率质量函数的和。