Question

简单的高等数学，第三题，谢谢

Answer 1

左边的好证，把1表示为对1的重积分，然后把中间的对cos(y^2)的重积分移到左边，可以知道等式成立的，根据对称性。

追答

自然右边的不等式就成立了，因为中间的积分计算出为1

追问

轮换对称性

追答

错了，搞混了

追问

Y=x对称

追答

sin(x^2)<=x^2, 所以中间的sin(x^2)的重积分做小于x^2的重积分，即小于1/3.
类似的可以说明cos(y^2)的重积分小于1,故中间的重积分小于1/3+1=4/3<sqrt(2), 右边等式证毕

Answer 2

用I代表原积分
I=∫(0,1)dy∫(0,1)sinx^2dx+∫(0,1)dx∫(0,1)cosy^2dy
=∫(0,1)(sinx^2+cosx^2)dx（定积分与积分号内自变量用什么符号表示无关）
=√2∫(0,1)sin(x^2+π/4)dx
sin<=1，I<=√2显然成立
0<=x<=1时，π/4<=x^2+π/4<3π/4，有sin(x^2+π/4)>=√2/2
I>=√2*√2/2=1，即证
其实两边都是严格不等，用<即可