Question

22的22次方除以5的余数是？

Answer 1

• 2 的任意次方对 5 取模，循环节为 2， 4， 3， 1，即 $2^1\equiv 2\pmod 5$，$2^2\equiv 4\pmod 5$，$2^3\equiv 3\pmod 5$，$2^4\equiv 1\pmod 5$，以后每四个一循环。

• 因为 $5=2^2+1$ 是形如 $2^K+1$ 的形

因为 $22\equiv 2\pmod 5$，所以 $22^{22}\equiv 2^{22}\pmod 5$。根据上面的循环节结论，$2^{22}\equiv 2^2\equiv 4\pmod 5$。因此，$22^{22}\equiv 4\pmod 5$。

现在我们可以利用 $22^{22}\equiv 4\pmod 5$ 和 $p\equiv \pm 1\pmod 5$ 来计算 $p\bmod 5$ 的值：

\begin{aligned}
p\bmod 5 &= （22^{22}）^{22}\bmod 5 \\
&= 22^{22\times 22}\bmod 5 \\
&= （22^{22}）^{10}\times 22^2\bmod 5 \\
&= 4^{10}\times 4\bmod 5 \\
&= （4^4）^2\times 4\bmod 5 \\
&= 1^2\times 4\bmod 5 \\
&= 4。
\end{

因此，$22^{22}$ 除以 5 的余数是 4。

Answer 2

根据同余定理，如果a和b除以m的余数相同，则a-b是m的倍数，即a ≡ b (mod m) 等价于 a - b = km，其中k是整数。因此，如果要求2的2022次方除以5的余数，可以将2的2022次方对5取模，即求2的2022次方mod 5的值。2的2022次方除以5的余数为4。