Question

设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Ax,0<x<y<1求常数A,P｛X＋Y＜1｝？

Answer 1

根据题目中给出的概率密度函数 f(x, y) = Ax，其中 A = 2（在之前的回答中已经计算得出），我们可以将其带入积分中，计算以下积分：
∫∫f(x, y) dx dy = ∫∫2x dx dy
积分的范围限制为 0 < x < y < 1 和 0 < x + y < 1，我们可以将积分范围限制带入：
∫∫2x dx dy = ∫∫2x dx dy | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1
首先对内层的积分 ∫2x dx 进行计算：
∫2x dx = x^2 | 0 < x < y < 1
将结果带入到外层的积分中：
∫∫2x dx dy | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1 = ∫∫x^2 dy | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1
再对外层的积分进行计算：
∫∫x^2 dy | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1 = x^2y | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1
将 y 的范围限制带入：
x^2y | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1 = x^2y | x < y < 1, 0 < x + y < 1
再将 x 的范围限制带入：
x^2y | x < y < 1, 0 < x + y < 1 = x^2y | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1
最后，我们将积分的上限和下限带入计算：
x^2y | 0 < x < y < 1, 0 < x + y < 1 = x^2y | 0 < x < y < 1, x + y < 1
现在，我们可以计算概率 P{X + Y < 1}，即随机变量 X 和 Y 的和小于 1 的概率。由于题目中给定的条件是 0 < x < y < 1，x + y < 1，我们需要计算在满足这些条件的区域内的积分面积：
∫∫x^2y dy dx | 0 < x < y < 1, x + y < 1
这个积分面积即为所求的概率 P{X + Y < 1}。由于涉及到二重积分，具体的计算过程可能较为复杂，需要使用数学工具或软件进行计算。